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2010-2023历年福建省福州市高三毕业班质检理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.设函数,

（1）求的最小值；

（2）当时,求的最小值.

2.5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是______________（用数字作答）.

3.已知函数.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.

4.如图，直角梯形中，,点分别是的中点，点在上，沿将梯形翻折，使平面平面.

（1）当最小时，求证：;

（2）当时，求二面角平面角的余弦值.

5.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为________.

6.执行如图所示的程序框图,输出的值是（???）

A．2

B．

C．

D．

7.如图，设向量,若,且,则用阴影表示点所有可能的位置区域正确的是(???)

8.“实数”是“复数（为虚数单位）的模为”的（??）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不是充分条件又不是必要条件

9.在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：

规定：当产品中的此种元素含量毫克时为优质品.

（1）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；

（2）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.

10.已知矩阵?，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.

（1）求矩阵的逆矩阵；

（2）计算

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（1）1；（2）试题分析：（1）因为,所以通过绝对值的基本不等式，即可得到最小值.另外也可以通过分类关键是去绝对值，求出不同类的函数式的最小值，再根据这些最小值中的最小值确定所求的结论.

（2）由（1）求出的的值，所以得到.再根据柯西不等式即可求得的最小值.同时强调等号成立的条件.

试题解析：(1)法1:f(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1,

故函数f(x)的最小值为1.?m=1.法2:.x≥4时,f(x)≥1;x3时,f(x)1,3≤x4时,f(x)=1,故函数f(x)的最小值为1.?m=1.

(2)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1故a2+b2+c2≥

当且仅当时取等号

考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.3.最值的问题.

2.参考答案：96试题分析：依题意可得.故填96.

考点：1.排列组合的问题.2.有特殊的条件要先考虑.

3.参考答案：（1）?；(2)试题分析：（1）因为函数所以通过二倍角公式及三角函数的化一公式，将函数化简，再通过正弦函数的单调递增区间公式，将化简得到变量代入相应的x的位置即可求出函数的单调递增区间，从而调整k的值即可得到结论.

(2)由（1）可得函数的解析式，再由即可求得角C的值.在根据向量共线即可求得一个等式，再根据正弦定理以及余弦定理，即可求得相应的结论.

试题解析：(I)==?

令，

解得即

,f(x)的递增区间为

(2)由,得

而,所以,所以得

因为向量与向量共线，所以，

由正弦定理得:①

由余弦定理得:,即a2+b2－ab=9②

由①②解得

考点：1.二倍角公式.2.化一公式.3.三角函数的单调性.4.解三角形.

4.参考答案：（1）参考解析；（2）试题分析：（1）因为当最小时，及连结AC与EF的交点即为G点，通过三角形的相似可得到EG的长度.需要证明直线与直线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，即可得到相关各点的坐标，从而写出相关向量，即可判断直线的垂直关系.

（2）由题意所给的体积关系可确定点G的位置，求二面角关键是转化为两平面的法向量的夹角，由于平面BCG的法向量易得，关键是求出平面DGB的法向量.通过待定系数法即可求得，还需判断二面角与法向量夹角的大小关系.解法二用到的推理论证的数学思想很重要.

试题解析：(1)证明：∵点、分别是、的中点,∴EF//BC??

又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，

如图建立空间坐标系E﹣xyz．

翻折前,连结AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小.

EG=BC=2,又∵EA=EB=2．

则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),

∴=(﹣2,2,2),=(-2,-2,0)

∴=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0，

∴⊥

(2)解法一：设EG=k,

∥平面,点D到