第9讲 相似三角形基本模型（三）（教师版）.docxVIP

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PAGE11/8年级自招A班第9讲教师版

第九讲

相似三角形基本模型

（三）

三垂直模型

三垂直模型：

角：，，

边：

形：

三垂直模型变形：

变形1：若，则，同时有．

变形2：若，则．

变形3：若，则．

变形4：若，则．

★★☆☆☆

⑴如图，四边形是正方形，边上有一点，边上有一点，且，，，求正方形的面积．

⑵已知：如图，在梯形中，，，，，，在上取点，使和相似，则．

⑴由已知条件可知，，进而由三垂直相似模型可得

∴，设，则，

在中，，即，解得，则

⑵当时（即为三垂直模型）：∴，即，解得或

当时：∴，即，解得

综上所述，或或

★★★☆☆

在矩形中，点是边上的动点，联结，线段的垂直平分线交边于点，垂足为点，联结（如图）．已知，，设，．求关于的函数解析式，并写出的取值范围．

易证，∴

当点与点重合时，

在中，由勾股定理得：

又，∴的取值范围为：．

★★★☆☆

⑴在中，，，点为上一点，联结，为上一点，，当时，求的长．

⑵如图，若，，，，求的值．

⑴法一：如图，补成矩形，延长交于点，则

∴即，∴，又∵，∴

法二：过点作于，则，，设，则，,，∴即，解得，∴

⑵由对称性可知，构造三垂直如图所示，过点作于，则，，∴，设，则，，，由可得，解得，进而有

∴

★★★★☆

如图，在梯形中，，且该梯形的高为，是腰上一点，且．当是直角三角形时，求边的长．

当时，

作交延长线于，交于点，作交延长线于点

∴，，

∵，∴，即，

进而由勾股定理，可得，

∵，∴，即，∴

注：当时，也可延长交延长线于点，过点作于，

利用射影定理来处理可简化运算

当时，作交延长线于点，交于点

同理可知，，，，，，

设，则

∵，∴，即

整理得，，解得，

一线三等角

一线三等角：通常以等腰三角形（等腰梯形）为背景．

角：，，

边：

形：

角：，，

边：

形：

*当时，有．

一线三等角变形：

★★★★☆

如图，已知是等边三角形，，是边上一动点（不与、点重合），垂直平分，分别交、于点、，设，．

⑴求证：；

⑵求关于的函数解析式，并写出定义域；

⑶过点作，垂足为点，当时，求线段的长．

⑴∵垂直平分，

∴

∴

⑵∵

∴，∴

即

⑶①当在线段上，则，

∴，又∵，∴

∴，（舍），即

②当在线段上，则，

∴，∴

∴，（舍）

即

综上：或．

★★★★☆

如图，等边，，点是射线上的一动点．联结，作的垂直平分线交线段于点，交射线于点，分别联结、．

⑴当点在线段的延长线上时，

①求的度数，并求证：；

②设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域．

⑵如果是等腰三角形，求的面积．

⑴①由中垂线性质，易证，则

②由，，即，

整理得，

⑵若为等腰三角形，则为等腰三角形（等腰转移）

当在线段的延长线上时，由即，结合

解得，，

当在线段上时，由即，结合

解得，，

★★★★☆

如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与、重合），与相交于点．

⑴求证：；

⑵若，设，；

①求关于的函数解析式及定义域；

②当为何值时，．

⑴∵与都是等边三角形，

∴，

∵，

∴，∴

⑵∵，

∴，即，∴，定义域为

⑶∵与都是等边三角形，

∴，，

∴，∴，∴

∵，，∴

∵，，∴

∴，∴

∴，解得，∴当或时，．

如图，梯形中，，，，，．在线段上任取一点，联结，作射线，与直线交于点．

⑴试确定时，点的位置．

⑵若设，，试写出当时，关于自变量的函数关系式．

⑴当时，

∴四边形为矩形

∴，即与重合

∴此时点与点重合

⑵作于点

易知

∴，即

∴（）

已知是平面直角坐标系中的一点，点是轴负半轴上一动点，联结，并以为边在轴上方作矩形，且满足，设点的横坐标是，用含的代数式表示点的坐标．

构造三垂直相似如图所示，由点横坐标为，可知

易证

∴，

易证，∴

如图，等边，是边上的一点，且，把折叠，使点落在边上的点处，求的值．

设，，则，由翻折可得，，，，由一线三等角相似可得，∴，即，∴

如图，梯形中，，，点是边上一点，联结，且，则图中有对相似三角形．

（）

如图，已知中，，，点是边上的一个动点，点在边上，．设的长为，的长为．

⑴当为中点时，求的长；

⑵求关于的函数关系式，并写出的取值范围．

⑴由，∴即，求得

⑵由，∴即，得．

的取