第4讲 自招专题之数形结合 自招A班（教师版）.docxVIP

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PAGE14/自招A班9年级第四讲

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自招专题之线性规划第四讲

自招专题之

线性规划

第四讲

数形结合之线性规划

1.二元一次不等式表示平面区域．

一般的，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

2.线性规划

⑴二元一次不等式组是一组对变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，所以又称为线性约束条件．

⑵是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫做目标函数．由于又是、的一次解析式，所以又叫做线性目标函数．

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

3.代数式的几何意义

⑴求截距：形如：计算的取值范围求函数的截距范围；

⑵求斜率：形如：计算的取值范围求过点、的直线的斜率范围；

⑶求距离：形如：计算的取值范围求两点、之间的距离范围．

★★★

⑴已知实数，满足约束条件，则的最大值为________；（截距）

⑵在约束条件下，目标函数的最大值为________；（绝对值）

⑶已知实数，满足约束条件，则的最大值为________；（斜率）

⑷已知实数，满足约束条件，则的最大值为________．（距离）

⑴；⑵；⑶；⑷．

★★★★

已知实数、满足不等式组，求函数的值域．

不等式组在坐标系中所表示的平面区域为以为圆心，半径为的圆在轴右侧的半圆部分（如图）；

则求的值域即相当于求过点且与半圆区域相交的直线的斜率取值范围；

易知，，

设圆切线解析式为：

联立，得有

解得斜率或（舍去）

★★★

在同一个直角坐标系中，已知直线与函数的图像恰好有三个公共点，则的取值范围是__________．

如图，易知，即

★★★

求的图像的面积．

如图，可绘出函数图像，

数形结合之构造几何图形

数形结合是一种重要的数学思想，是指从原题构件出发，通过对题设表达式变形构造出相应的几何图形，进而直观地反映出原题条件，最终使问题获解．

“以数助形”，数形结合的巧妙之处即在于：如何寻找合适的几何图形来代替代数表达式．在具体题目中利用距离、边长、面积等几何量替代代数式，经常会产生意想不到的效果．

★★★

⑴已知，则的最小值是；

⑵已知，求的最小值．

⑴如图，，，即求的最小值，

易知，，且当时，取到最小值；

⑵如图，，，，即求的最小值，

易知，，

且当时，即，时取到最小值．

★★★

设、、、、、、、均为正实数，且满足．

求证：．

如图构造边长为的正方形

使，，，

则，，，

有

且

★★★★★

如果三个正实数、、满足，求的值．

由余弦定理，，，

，可构造如下图所示三角形，可证为直角三角形

则

又

★★

已知、为两锐角，且满足，求的值．

本题可直接死算,但建议介绍数形结合构造法,为下题做铺垫．

如图构造，，，，作于，则有

由余弦定理，有∴

★★★★

已知、、是实数，满足，且（、均为正整数，且为最简根式）．求的值．

如图构造，即为，则有，

，，

由海伦公式，，

，，．

⑴若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为____．

⑵在约束条件下，目标函数的最大值为________．

⑶若变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围为______．

⑷若变量，满足约束条件，则的最小值为__________．

答案：⑴；⑵；⑶；⑷．

⑴如图，即相当于求经过图中区域的直线的截距的取值范围：

由图可知直线过点时截距最大，将代入，可得

⑵如图，即相当于求经过图中区域的直线的截距的取值范围：

由图可知直线过点时截距最小，将代入，有最小值，可得

图图

⑶如图，即相当于求过点且经过图中区域的直线的斜率的取值范围：

由图可知直线过、点时斜率分别取最大、最小值，将、分别代入，

得，.

⑷如图，即相当于求图中区域内的点，到原点的距离的取值范围：

由图可知点到直线距离即为所求最小距离，为.

图图

在平面直角坐标系中，围成的多边形面积是________．

可画出，围成多边形为下图正方形，

求代数式的最小值．

原式

如图，即相当于求的最小值，

当，即，时原式取