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2010-2023历年福建省福州三中高三月考理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.（本小题满分14分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为45°，那么实数在什么范围取值时，函数在区间（2，3）内总存在极值？

（3）求证：．

2.设是定义在R上的奇函数，当时，，则（?）

A．－3

B．－1

C．1

D．3

3.已知平面向量、、为三个单位向量，且，满足，则的最大值为（???）

A．1

B．

C．

D．2

4.（本小题满分13分）已知函数簇．

（1）设曲线列的顶点的纵坐标构成数列，求证：数列为等差数列；

（2）设曲线列的顶点到轴的距离构成数列，为数列的前项和，求S20．

5.已知集合，则=（???）

A．{3，4，5}

B．{4,5,6}

C．{x|3x≤6}

D．{x|3≤x6}

6.定义在R上的奇函数，满足，则在区间（0，6）内零点

个数（?）

A．至多4个

B．至多5个

C．恰好6个

D．至少6个

7.若函数在R上存在极值，则实数的取值范围是______．

8.（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知不等式的解集与关于的不等式的解集相等．

（Ⅰ）求实数的值．

（Ⅱ）求函数的最大值．

9.（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

在平面直角坐标系中，把矩阵确定的压缩变换与矩阵确定的旋转变换进行复合，得到复合变换．

（Ⅰ）求复合变换的坐标变换公式；

（Ⅱ）求圆C：x2+y2=1在复合变换的作用下所得曲线的方程．

10.二项式的展开式中第4项的系数等于????????（用数字作答）．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（1）当时，的单调递增区间为，减区间为；当时，的单调递增区间为，减区间为；（2）当时，函数在区间（2，3）内总存在极值；（3）令，此时，，由（1）知在上单调递增，所以当时，，即，所以对一切都成立.因为，所以，于是，所以

.试题分析：（1）在求单调区间时首先要求出函数的定义域，然后对参数进行分类讨论即可得出答案；（2）点处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在区间上总不是单调函数可知：，，，于是可求的取值范围．（3）令，此时，结合（1）可判断对一切成立，进而可得，即可证得结论．

试题解析：（1）因为，所以.

当时，的单调递增区间为，减区间为；当时，的单调递增区间为，减区间为.

（2）因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为45°，所以，于是，，所以，所以.要使函数在区间（2，3）内总存在极值，所以只需，，解得，所以当时，函数在区间（2，3）内总存在极值.

（3）令，此时，，由（1）知在上单调递增，所以当时，，即，所以对一切都成立.因为，所以，于是，所以

.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

2.参考答案：A试题分析：因为当时，，所以.又因为是定义在R上的奇函数，所以.故应选A.

考点：函数奇偶性的性质.

3.参考答案：B试题分析：因为平面向量、、为三个单位向量，且，

将两边平方得，，所以.

又因为，所以.所以的最大值为.

考点：平面向量及应用.

4.参考答案：（1）因为，所以.所以，所以数列为等差数列；（2）.试题分析：（1）首先对已知函数簇进行配方，确定所给函数的图象的顶点的纵坐标，从而可求数列的通项，再根据等差数列的定义证明其为等差数列；（2）求出曲线列的顶点到轴的距离，从而确定数列的通项，进而可分段求出的前项和．

试题解析：（1）因为，所以.所以，所以数列为等差数列.

（2）由题意知，.当时，；当时，；所以.

考点：数列的求和；等差数列的性质．

5.参考答案：B试题分析：因为集合，所以，或.由集合的交集的定义知，.

考点：集合的基本关系.

6.参考答案：D试题分析：由得，，即函数是周期为3的函数.

由得，，，，，，

再在中取可得，，即.由周期性可得，.

所以函数在区间（0，6）内零点个数至少6个.

考点：函数零点的判定定理；函数的周期性.

7.参考答案：.试题分析：由题意知，函数的导数为，因为函数在R上存在极值，所以有两个不等实根，其判别式，所以，所以的取值范围为.故应填.

考点：利用导数研究函数的极值.

8.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）函数的最大值为5.试题分析：（Ⅰ）求出不等式的解集，即得不等式的解集，利用一元二次方程根与系数的关系求出的值即可；

（Ⅱ）将（Ⅰ）所求的的值代入函数，直接根据柯西不等式即可求出该函数的最大值即可.

试题解析：

（Ⅰ）不等式的解集为或，所以不等式的解集为或，所以1,3是方程的两根，所以，解得.

（Ⅱ）函数的定义域为，由柯西不等式得：

.

又因为，所以，当且仅当时等号成立，即时，.

所以函数的最大值为5.