第9讲 相似三角形的存在性问题 自招自招A（学生版）.docxVIP

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PAGE18/9年级自招自招A班第9讲

第九讲相似三角形中的存在性问题

第九讲

相似三角形中的存在性问题

相似三角形分类讨论题型分布：填空题、函数题、几何题

相似三角形分类讨论注意点：“线段”、“射线”、“直线”

填空题中分类讨论的标志：

⑴题中没有“如图”两字

⑵“直线”、“射线”的修饰

综合题中分类讨论的标志：（举例如下）

⑴以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点．

用文字写出的“相似”则必定要分类讨论；

⑵是否存在点，使，求点的坐标．

用“”表示相似时，则需分类讨论，但避免歧义这种表示不会出现在中考题中，

不过要注意在一系列的测验和模考中会出现；

⑶“(的顶点、、分别与的顶点、、对应)”

已经写了对应点，则不必分类讨论；

相似三角形分类讨论的一般步骤：

⑴明确讨论的对象

⑵确定分类标准（是以“角”作为分类标准），按一个标准进行分类

分类讨论一般先确定出一组等角（或公共角），然后再按照其它两组角相等分两种情况讨论

⑶逐步讨论，做到不重复”“不遗漏”；

此时一般分三种情况：

①等角（或公共角）的两边容易表示，直接写出比例式即可求出

②等角（或公共角）的两边不易表示，则依然按照角相等继续讨论，一般情况下结果中一种是有特殊角存在的，另一种则常用到锐角三角比，各种相似模型来推导．

③等角（或公共角）的两边不能直接表示，但其中一部分的比例式是可以通过比例线段、相似模型、锐角三角比等转化得到的．

⑷归纳小结，得出结论

口诀：相似对应先找角，

分类讨论比例导．

如若不知邻边长，

考虑导角分类找．

★

⑴在中，，，点在线段上且，点在线段上，联结，使与原三角形相似，则________．

⑵在中，点、分别在直线、上，，，，，那么________．

★★

⑴已知，菱形的边长为，点在直线上，，联结与对角线相交于点，那么________．

⑵如图，点、在直线上，，，，若点在，且与相似，则________．

【自招】★★★

如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线（）经过点和点．

⑴求抛物线的解析式；

⑵在线段上取一点（点不与点重合），过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．当时，求点的坐标；

⑶设抛物线的对称轴与直线交于点，抛物线与轴的交点为，点在线段上，当与相似时，求点的坐标．

★★★

如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点．

⑴求抛物线的解析式；

⑵过点且与轴平行的直线与直线分别交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；

⑶当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

★★★★

已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．抛物线的对称轴是直线，为抛物线的顶点．

⑴求抛物线的解析式及顶点的坐标；

⑵在直线上方的抛物线上找一点，使，求点的坐标；

⑶在坐标轴上找一点,使以点为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．

【自招A】★★★★

如图，已知二次函数（其中）的图像与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．设为对称轴上的点，联结，．

⑴求的度数；

⑵求点坐标（用含的代数式表示）；

⑶在坐标轴上是否存在着点（与原点不重合），使得以为顶点的三角形与相似，且线段的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【自招班悬赏题、自招A班例题】★★★★

如图，已知抛物线（是实数且）与轴的正半轴分别交于点（点位于点的左侧），与轴的正半轴交于点．

⑴点的坐标为，点的坐标为（用含的代数式表示）；

⑵请你探索在第一象限内是否存在点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点，使得中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

★★★★

如图，中，，，，是斜边上的高，点为边上一点（点不与点、重合），联结，作，与边、线段分别交于点、．

⑴求线段、的长；

⑵设，，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；

⑶联结，当与相似时，求线段的长．

★★★★

如图，在梯形中，，，，，．点、分别在边、上，且，联结．的延长线与的延长线相交于点．

设，．

⑴求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

⑵当以为半径的与以为半径的外切时，求的值；

⑶当时，求的值．

（备用图）

★★★★

已知，正方形的边