2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：一元函数导数及其应用（10题）.docx

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2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：一元函数导数及其应用（10题）

一．解答题（共10小题）

1．（2024?邵阳三模）已知函数f(x)=xex，g（x）＝f（x）

（1）若g（x）在x＝0处取得极值，讨论g（x）的单调性；

（2）设曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（0＜m＜2）处的切线为l，证明：除点P外，曲线段y＝f（x）（0≤x≤2）总在l的下方；

（3）设xn=1

2．（2024?莆田模拟）已知函数f（x）＝x2﹣xsinx+a．

（1）证明：当x＞0时，f（x）＞a；

（2）函数f（x）有唯一极值点．

3．（2024?回忆版）已知函数f（x）＝lnx2-x+ax+b（x﹣1）

（1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值；

（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；

（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．

4．（2024?汕头模拟）已知函数f（x）＝x（ex﹣ax2）．

（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线与y轴垂直，求y＝f（x）的极值．

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

5．（2024?天府新区模拟）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当a＞0时，f(x)＞

6．（2024?诸暨市三模）若函数f（x）在区间I上有定义，且?x∈I，f（x）∈I，则称I是f（x）的一个“封闭区间”．

（1）已知函数f（x）＝x+sinx，区间I＝[0，r]（r＞0）且f（x）的一个“封闭区间”，求r的取值集合；

（2）已知函数g(x)=ln(x+1)+34x3，设集合P＝{x|g（x

（i）求集合P中元素的个数；

（ii）用b﹣a表示区间[a，b]（a＜b）的长度，设m为集合P中的最大元素．

证明：存在唯一长度为m的闭区间D，使得D是g（x）的一个“封闭区间”．

7．（2024?回忆版）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．

（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；

（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

8．（2024?雨花区校级一模）已知函数f（x）＝x3﹣ax+a．

（1）若x＝1是函数f（x）的极值点，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程．

（2）若a＞0，求f（x）在区间[0，2]上最大值．

9．（2024?浙江模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a∈R．

（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）在x∈（0，e]上的最大值是﹣3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

10．（2024?徐州模拟）已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函数y＝f（x）﹣2x2在（0，2]上单调递减，求a的取值范围；

（2）若直线y＝ex与f（x）的图象相切，求a的值．

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：一元函数导数及其应用（10题）

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2024?邵阳三模）已知函数f(x)=xex，g（x）＝f（x）

（1）若g（x）在x＝0处取得极值，讨论g（x）的单调性；

（2）设曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（0＜m＜2）处的切线为l，证明：除点P外，曲线段y＝f（x）（0≤x≤2）总在l的下方；

（3）设xn=1

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．

【答案】（1）g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．

（2）证明详情见解答．

（3）证明详情见解答．

【分析】（1）由g（x）在x＝0处取极值待定a，再求导函数g′（x），根据导函数的单调性与零点确定符号变化区间，从而讨论g（x）的单调性；

（2）构造函数将命题转化为F(x)=f(x)-1-memx-

（3）应用第（2）问结论赋值m=120得

【解答】解：（1）∵g(x)=xex+ax，

∴g

由g（x）在x＝0处取得极值，得g′（0）＝a+1＝0，

解得a＝﹣1．

当a＝﹣1时，g

设φ（x）＝1﹣x﹣ex，则φ（x）在R上单调递减，且φ（0）＝0，

则当x＜0时，φ（x）＞φ（0）＝0，即g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）单调递增，

当x＞0时，φ（x）＜φ（0）＝0，即g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）单调递减，

故g（x）在x＝0处取到极大值，满足题意，

所以g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．

（2）证明：∵f(x)=xex，x∈R

∴曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））处的切线l的斜率为1-mem，0＜m＜