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高中数学重心专题讲义--第1页

重心

1、重心的概念：三角形三条中线的交点即为三角形的重心，如下图所示的点O：

AAA

E

FEFEF

O

OO

CB

DCDBCDB

钝角三角形的重心直角三角形的重心锐角三角形的重心

证明：三角形的三条中线交于一点。

【问题】如图所示，在中，已知BE、CF分别是边AC、AB上的中线，

连接AO并延长交BC于点D，求证：AD是边BC上的中线。

A

E

F

O

CB

D

【证明】过点C作BE的平行线交AD的延长线于点G，连接BG，如图所示：

A

E

F

O

CB

D

G

在中，，

又，点O是AG的中点，

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又F是AB的中点，是BG的中位线，，

四边形OCGB即为平行四边形（对边分别平行），

（平行四边形的对角线互相垂直平分），

AD是边BC上的中线。

【证法二】如下图所示，由燕尾定理可得：

A

E

F

O

CB

D

AD是边BC上的中线.

2、三角形重心的性质：

性质1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

【问题】已知：如图所示，在中，若O点为的重心，求证

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A

O

B

D

C

【证法一】连接CO并延长交AB于点E，过点C作CF平行于AD交BO的延长