第2讲 一元二次方程判别式（教师版）.docxVIP

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PAGE5/自招体系7年级教师版第2讲

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第

第二讲

一元二次方程判别式

一元二次方程

判别式

【重点】：一元二次方程根的判别式的作用

【难点】：①根据方程根的情况，应用判别式确定未知系数取值范围．

②一元二次方程根的判别式的综合应用．

判断下列方程根的情况：

⑴；⑵；

⑶；⑷

⑴，方程无实数根；

⑵，方程有两个相等的实数根；

⑶，方程有两个相等的实数根；

⑷，方程无实数根．

一元二次方程的判别式

一．一元二次方程的求根公式：

二．一元二次方程根的判别式：

运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：．也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．通常用符号“”标号，记作．

三．利用一元二次方程根的判别式判断根的情况：

⑴当时，方程有两个不相等实数根；

⑵当时，方程有两个相等实数根，为；

⑶当时，方程有两个实数根；

注：对于有理数系数的一元二次方程，当为完全平方方程有有理根；

⑷当时，方程没有实数根．

上讲回顾：（本题引入，老师带领学生回忆上讲内容）

解关于方程：

Ⅰ.当时，，；

Ⅱ.当时，：

⑴当，即且时

方程有两不等实根．，

⑵当，即时，方程有两相等实根

⑶当时，方程无实根．

根的个数：结合判别式，判断根的个数——例1、2、3

★

判断下列方程根的情况：

⑴

⑵；

⑶．

⑴，方程无实数根；

⑵，方程有两个相等的实数根；

⑶，方程有两个不相等的实数根．

★★★

⑴对于一元二次方程，有下列四种条件：①；②；③、异号；④的值为零．满足其中条件之一的方程一定有实数根的有（）

A．种B．种C．种D．种

⑵若是一元二次方程（）的根，则判别式与平方式的关系是：（）

A．；B．；C．；D．不确定

⑶已知关于的方程没有实根，那么以下必有实根的方程是（）

A． B． C．

D． E．

⑴．⑵

⑶（华师大二附中自主招生）．

，故；

，必有实根；

，可为负

，可为负

，可为负

，必为负

★★

设、、分别为的三边，求证：关于的方程无实根．

于的二次方程的判别式，显然

；

因为在三角形中两边之和大于第三边，即，，；

所以，，；

因为；所以；

所以关于的二次方程无实根．

根的判别式的应用

三．根的判别式的应用题型：

⑴根的个数：运用判别式，判定方程实数根的个数、根的特性；

⑵参数范围：利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数的值或取值范围；

⑶构造一元二次方程：利用方程必有解，则判别式求解最值问题、几何存在性问题．

【注】：对方程的根进行研究时，极易忽略对二次项系数的分类讨论．

⑴若，方程为一元二次方程，可由判别式的正负性判断方程根的情况；

⑵若，方程为一元一次方程，可依据含参一元一次方程的分类讨论方法判断根的

情形．

参数范围：已知根的特征，求参数（范围）

★★

⑴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的范围．

⑵关于的方程只有一解（相同解算一解），求的值．

⑶已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________．

⑴因为是关于的一元二次方程，所以，．

因为一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴解得：，综上且．

⑵当时，方程为，解得，方程只有一解；

当时，方程，

当即时，方程只有一解（相同解算一解），综上或．

⑶由题意知：，解得：且．

★★★

⑴方程有实根，求，值．

⑵若关于的方程没有实数根，试判定关于的方程

的根的情况．

⑶已知关于的方程（其中、为实数），若对于任意实数，此方程都有实数根，求的取值范围．

⑴有实根；

所以

；

所以，；所以，．

⑵①当时，原方程化为，有一个实数根，不合题意，舍去．

②当时，关于的一元二次方程没有实数根，

所以判别式；即．

若，即时，化为，有一个根．

若，即且时，，

因为，且，所以此时，方程有两个不相同的实根．

综上，当时，方程有一个根；当且时，方程有两个不相同的实根．

⑶

∴

已知为整数，关于的二次方程有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根，求的值．

由题意得，可列

解得：

又因为、是整数，所以，，．

至少一个方程有实根类题型

★★★

已知三个关于的方程、和，若其中至少有两个方程有实数根，求实数的取值范围．

方程的判别式：，若有实数根，则；

方程有根：则或，即；

方程有根：则或，即；

通过数轴可知，至少两个方程有实数根，则或