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第46讲空间几何体的结构特征、表面积

与体积

知识梳理

知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面

（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．

（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．

知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体．

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．

知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．

知识点四：组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．

知识点五：表面积与体积计算公式

表面积公式

表面积

柱体

为直截面周长

锥体

台体

球

体积公式

体积

柱体

锥体

台体

球

知识点六：空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．

（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．

（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．

（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．

注：直观图和平面图形的面积比为．

2、平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．

必考题型全归纳

题型一：空间几何体的结构特征

例1．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由棱柱定义知棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形，故满足必要性；

但有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，

例如两个底面全等的斜棱柱拼接的几何体不是棱柱，如图所示：

??，

故不满足充分性，

故选：B

例2．（2024·全国·高三对口高考）设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体．以上命题中真命题的个数为（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】由平行六面体的定义可得底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；命题甲正确；

底面是矩形的平行六面体的侧棱不一定垂直于底面，故该几何体不一定为长方体，

命题乙错误；

直四棱柱的底面不一定为平行四边形，故直四棱柱不一定是平行六面体，命题丙错误；

正确的命题只有一个.

故选：B

例3．（2024·全国·高三专题练习）下列命题：

①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；

②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；

③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；

④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．

其中正确命题的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，

显然不是棱柱，故①错误；

②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；

③如图3，四边形为矩形，

即过