第69讲、直线与圆锥曲线的位置关系（教师版）.docxVIP

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第69讲直线与圆锥曲线的位置关系

知识梳理

知识点一、直线和曲线联立

（1）椭圆与直线相交于两点，设，

，

椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，

注意：

=1\*GB3①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．

=2\*GB3②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．

（2）抛物线与直线相交于两点，设，

联立可得，时，

特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．

抛物线与直线相交于两点，设，

联立可得，时，

注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．

总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．

知识点二、根的判别式和韦达定理

与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．

同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．

与C相离；与C相切；与C相交．

注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．

（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．

（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．

（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；

焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．

（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．

知识点三、弦长公式

设，根据两点距离公式．

（1）若在直线上，代入化简，得；

（2）若所在直线方程为，代入化简，得

（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．

注意：（1）上述表达式中，当为，时，；

（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．

（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．

（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．

（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．

知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程

（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，

运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，

所以，两式相减得

所以

即，故

（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．

必考题型全归纳

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系

例1．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆的两焦点为，，点满足，则直线与椭圆C的公共点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．不确定，与P点的位置有关

【答案】A

【解析】因为，所以，

由可得，

所以，

所以直线与椭圆C的公共点个数为0.

故选：A.

例2．（2024·全国·高三对口高考）若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，圆的圆心为，半径为.

设直线方程为，直线到圆心的距离为，

由弦长公式得，所以.

由点到直线的距离公式得，，即.

对于选项A，直线到该圆圆心的距离为，

取，满足条件，而，直线与圆没有公共点，故A排除；

对于选项B，当时，对于直线有，，，

联立椭圆方程得，所以必有公共点；

当时，联立直线与椭圆方程得，

，

所以必有公共点；故B正确；

对于选项C，联立直线与抛物线方程得，

若时，则，有解；

若时，，取，则，方程无解，此时无公共点，故C错误；

对于选项D，当时，对于直线有，，，

联立双曲线方程得，

取，则直线：，与双曲线不存在公共点，故D排除.

故选：B.

例3．（2024·重庆·统考二模）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（????）

A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条

【答案】A

【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.

①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；

②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公