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一、解答题
1.问题情境:
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x1,y1)和点B(x2,y2),小明在学习中发现,若x1=x2,则AB∥y轴,且线段AB的长度为|y1﹣y2|;若y1=y2,则AB∥x轴,且线段AB的长度为|x1﹣x2|;
(应用):
(1)若点A(﹣1,1)、B(2,1),则AB∥x轴,AB的长度为.
(2)若点C(1,0),且CD∥y轴,且CD=2,则点D的坐标为.
(拓展):
我们规定:平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|;例如:图1中,点M(﹣1,1)与点N(1,﹣2)之间的折线距离为d(M,N)=|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|=2+3=5.
解决下列问题:
(1)如图1,已知E(2,0),若F(﹣1,﹣2),则d(E,F);
(2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,则t=.
(3)如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上,且三角形OPQ的面积为3,则d(P,Q)=.
2.问题情境:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC的度数.小明的思路是:过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°.
问题解决:
(1)如图2,AB∥CD,直线l分别与AB、CD交于点M、N,点P在直线I上运动,当点P在线段MN上运动时(不与点M、N重合),∠PAB=α,∠PCD=β,判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由;
(2)在(1)的条件下,如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时.请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系;
(3)如图3,AB∥CD,点P是AB、CD之间的一点(点P在点A、C右侧),连接PA、PC,∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q.若∠APC=116°,请结合(2)中的规律,求∠AQC的度数.
3.已知:直线AB∥CD,M,N分别在直线AB,CD上,H为平面内一点,连HM,HN.
(1)如图1,延长HN至G,∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E.求证:2∠MEN﹣∠MHN=180°;
(2)如图2,∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E.
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系:;
②作MP平分∠AMH,NQ∥MP交ME的延长线于点Q,若∠H=140°,求∠ENQ的度数.(可直接运用①中的结论)
4.(1)(问题)如图1,若,,.求的度数;
(2)(问题迁移)如图2,,点在的上方,问,,之间有何数量关系?请说明理由;
(3)(联想拓展)如图3所示,在(2)的条件下,已知,的平分线和的平分线交于点,用含有的式子表示的度数.
5.已知,AB∥CD,点E为射线FG上一点.
(1)如图1,若∠EAF=25°,∠EDG=45°,则∠AED=.
(2)如图2,当点E在FG延长线上时,此时CD与AE交于点H,则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系,请说明你的结论;
(3)如图3,当点E在FG延长线上时,DP平分∠EDC,∠AED=32°,∠P=30°,求∠EKD的度数.
6.如图1,已知直线m∥n,AB是一个平面镜,光线从直线m上的点O射出,在平面镜AB上经点P反射后,到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光线,PQ为反射光线,镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OPA=∠QPB.
(1)如图1,若∠OPQ=82°,求∠OPA的度数;
(2)如图2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OPA的度数;
(3)如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系,并说明理由.
7.下列等式:,,,将以上三个等式两边分别相加得:
.
(1)观察发现:__________.
(2)初步应用:利用(1)的结论,解决以下问题“①把拆成两个分子为1的正的真分数之差,即;②把拆成两个分子为1的正的真分数之和,即;
(3)定义“”是一种新的运算,若,,,求的值.
8.阅读理解:
一个多位数,如果根据它的位数,可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数,其中a代表这个整数分出来的左边数,b代表的这个整数分出来的中间数,c代表这个整数分出来的右边数,其中a,b,c数位相同,若b﹣a=c﹣b,我们称这个多位数为等差数.
例如:357分成了三个数3,5,7,并且满足:5﹣3=7﹣5;
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