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高三导数第一节知识点总结

导数是高中数学的重要内容，是微积分的基础知识之一。在高

三阶段，导数的学习更是不可忽视。本文将对高三导数第一节的

知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。

一、导数的定义

导数是一种用于描述函数变化率的数学工具，常用符号表示为

f(x)，可以理解为函数在某一点的切线斜率。导数定义为：若函数

f(x)在点x处有极限

f(x)=lim【△x→0】{(f(x+△x)-f(x))/△x}

导数可以解释为自变量增加一单位时，函数值的增量与自变量

增量之商的极限。

二、导数与函数图像

函数的导数可以揭示函数图像的一些基本特征。通过导数的正

负性，可以判断函数在某一点附近的增减性；通过导数的零点，

可以找到函数的极值点。

1.导数的正负性

若f(x)0，则函数f(x)在该点附近单调递增；

若f(x)0，则函数f(x)在该点附近单调递减；

若f(x)=0，则函数f(x)在该点附近存在极值点。

2.极值点与拐点

若f(x)0从正变负，则函数f(x)在该点附近有极大值点；

若f(x)0从负变正，则函数f(x)在该点附近有极小值点；

若f(x)=0，则函数f(x)在该点附近存在拐点。

三、常见函数的导数求法

1.常数函数

若f(x)=c（c为常数），则f(x)=0。

2.幂函数

若f(x)=x^n（n为常数），则f(x)=n*x^(n-1)。

3.指数函数

若f(x)=a^x（a为常数，a0且不等于1），则f(x)=ln(a)*a^x。

4.对数函数

若f(x)=log_a(x)（a为常数，a0且不等于1），则

f(x)=1/(x*ln(a))。

5.三角函数

若f(x)=sin(x)，则f(x)=cos(x)；

若f(x)=cos(x)，则f(x)=-sin(x)；

若f(x)=tan(x)，则f(x)=1+tan^2(x)。

四、导数的运算法则

导数的运算法则是求导过程中常用的一些公式和规则，可以大

大简化计算过程。

1.基本导数公式

（1）（k*f(x))=k*f(x)（k为常数）；

（2）(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)；

（3）(f(x)-g(x))=f(x)-g(x)；

（4）(f(x)*g(x))=f(x)*g(x)+f(x)*g(x)；

（5）(f(x)/g(x))=(f(x)*g(x)-f(x)*g(x))/g^2(x)（g(x)≠0）。

2.复合函数求导

若z=f(g(x))，则dz/dx=f(g(x))*g(x)。

3.高阶导数

若f(x)存在，则f(x)=(f(x))；

若f(x)存在，则f(x)=(f(x))，依此类推。

五、应用导数解题

导数在实际问题中有广泛的应用，如最值问题、曲线的切线和

法线、速度与加速度等。

1.极值问题

（1）单峰函数的极值点：判断f(x)=0的解集，再结合f(x)的

正负性；

（2）闭区间上的最值：计算函数在区间端点和内部的函数值，

并比较大小。

2.切线与法线

切线的斜率等于函数在该点的导数值，法线的斜率等于切线的

斜率的相反数。

3.速度与加速度

函数的导数表示函数值的变化率，因此可以用导数来描述运动

过程中的速度和加速度变化。

综上所述，高三导数第一节主要包括导数的定义、导数与函数

图像的关系、常见函数的导数求法、导数的运算法则以及导数在

实际问题中的应用。通过理论学习和大量的练习，同学们可以加

深对导数的理解，为高三的数学学习打下坚实的基础。