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第4讲基本不等式及其应用

知识梳理

1、基本不等式

如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；

基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

（1）

（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．

特例：（同号）．

（3）其他变形：

①（沟通两和与两平方和的不等关系式）

②（沟通两积与两平方和的不等关系式）

③（沟通两积与两和的不等关系式）

④重要不等式串：即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．

2、均值定理

已知．

（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．

（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．

3、常见求最值模型

模型一：，当且仅当时等号成立；

模型二：，当且仅当时等号成立；

模型三：，当且仅当时等号成立；

模型四：，当且仅当时等号成立．

必考题型全归纳

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．

例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（????）．

A． B．

C． D．

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（????）

已知，求的最小值；解答过程：；

求函数的最小值；解答过程：可化得；

设，求的最小值；解答过程：，

当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

题型二：直接法求最值

【解题方法总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件．

例4．（2024·河北·高三学业考试）若，，且，则的最大值为______．

例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若，，且，则的最小值是____________．

例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数，则的最小值为___________.

题型三：常规凑配法求最值

【解题方法总结】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2、注意验证取得条件．

例7．（2024·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___________.

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为__________.

例9．（2024·全国·高三专题练习）若，则的最小值为______

例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________．

题型四：消参法求最值

【解题方法总结】

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）

A．2 B． C． D．6

例12．（2024·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________.

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知，，满足，则的最小值是______．

题型五：双换元求最值

【解题方法总结】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．

1、代换变量，统一变量再处理．

2、注意验证取得条件．

例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（???????）

A． B． C． D．

例15．（2024·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则取到最小值为________．

题型六：“1”的代换求最值

【解题方法总结】

1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．

1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．

2、注意验证取得条件．

例17．（2024·安徽蚌埠·统