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一、解答题
1.如图,在平面直角坐标系中,四边形各顶点的坐标分别为,,,,现将四边形经过平移后得到四边形,点的对应点的坐标为.
(1)请直接写点、、的坐标;
(2)求四边形与四边形重叠部分的面积;
(3)在轴上是否存在一点,连接、,使,若存在这样一点,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,已知直线,点在直线上,点在直线上,点在点的右侧,平分平分,直线交于点.
(1)若时,则___________;
(2)试求出的度数(用含的代数式表示);
(3)将线段向右平行移动,其他条件不变,请画出相应图形,并直接写出的度数.(用含的代数式表示)
3.已知AB∥CD,线段EF分别与AB,CD相交于点E,F.
(1)请在横线上填上合适的内容,完成下面的解答:
如图1,当点P在线段EF上时,已知∠A=35°,∠C=62°,求∠APC的度数;
解:过点P作直线PH∥AB,
所以∠A=∠APH,依据是;
因为AB∥CD,PH∥AB,
所以PH∥CD,依据是;
所以∠C=(),
所以∠APC=()+()=∠A+∠C=97°.
(2)当点P,Q在线段EF上移动时(不包括E,F两点):
①如图2,∠APQ+∠PQC=∠A+∠C+180°成立吗?请说明理由;
②如图3,∠APM=2∠MPQ,∠CQM=2∠MQP,∠M+∠MPQ+∠PQM=180°,请直接写出∠M,∠A与∠C的数量关系.
4.如图,已知直线射线CD,.P是射线EB上一动点,过点P作PQEC交射线CD于点Q,连接CP.作,交直线AB于点F,CG平分.
(1)若点P,F,G都在点E的右侧,求的度数;
(2)若点P,F,G都在点E的右侧,,求的度数;
(3)在点P的运动过程中,是否存在这样的情形,使?若存在,求出的度数;若不存在,请说明理由.
5.阅读下面材料:
小亮同学遇到这样一个问题:
已知:如图甲,ABCD,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE,得到∠BED.
求证:∠BED=∠B+∠D.
(1)小亮写出了该问题的证明,请你帮他把证明过程补充完整.
证明:过点E作EFAB,
则有∠BEF=.
∵ABCD,
∴,
∴∠FED=.
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D.
(2)请你参考小亮思考问题的方法,解决问题:如图乙,
已知:直线ab,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,连接AD,BC,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,且BE,DE所在的直线交于点E.
①如图1,当点B在点A的左侧时,若∠ABC=60°,∠ADC=70°,求∠BED的度数;
②如图2,当点B在点A的右侧时,设∠ABC=α,∠ADC=β,请你求出∠BED的度数(用含有α,β的式子表示).
6.已知:ABCD.点E在CD上,点F,H在AB上,点G在AB,CD之间,连接FG,EH,GE,∠GFB=∠CEH.
(1)如图1,求证:GFEH;
(2)如图2,若∠GEH=α,FM平分∠AFG,EM平分∠GEC,试问∠M与α之间有怎样的数量关系(用含α的式子表示∠M)?请写出你的猜想,并加以证明.
7.阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用来表示的小数部分,事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是的小数部分,又例如:∵,即,∴的整数部分为2,小数部分为。
请解答
(1)的整数部分是______,小数部分是_______。
(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值。
(3)已知x是的整数部分,y是其小数部分,直接写出的值.
8.定义:如果,那么称b为n的布谷数,记为.
例如:因为,所以,
因为,
所以.
(1)根据布谷数的定义填空:g(2)=________________,g(32)=___________________.
(2)布谷数有如下运算性质:
若m,n为正整数,则,.
根据运算性质解答下列各题:
①已知,求和的值;
②已知.求和的值.
9.阅读下面的文字,解答问题.
对于实数a,我们规定:用符号[a]表示不大于a的最大整数;用{a}表示a减去[a]所得的差.
例如:[]=1,[2.2]=2,{}=﹣1,{2.2}=2.2﹣2=0.2.
(1)仿照以上方法计算:[]={5﹣}=;
(2)若[]=1,写出所有满足题意的整数x的值:.
(3)已知y0是一个不大于280的非负数,且满足{}=0.我们规定:y1=[],y2=[],y3=[],…,以此类推,直到yn第一次等于1时停止计算.当y0是符合条件的所有数中的最大数时,此时y0=,n=.
10.观察下面的变形规律:
;;;…
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