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第26讲导数同构
知识梳理
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．同构小套路
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1）且时，有
（2）当且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1，等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：
=1\*GB3①；
=2\*GB3②；
=3\*GB3③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
=1\*GB3①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
=2\*GB3②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
必考题型全归纳
题型一：不等式同构
例1．（2024·四川达州·高二校考阶段练习）已知，且，，，则（????）
A． B．
C． D．
例2．（2024·湖北黄石·高二校考期中）已知．且，，，则（????）
A． B．
C． D．
例3．（2024·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（????）
A． B． C． D．
变式1．（2024·河南·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小顺序是（????）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（????）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（????）
A． B． C． D．
题型二：同构变形
例4．（2024·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
题型三：零点同构
例5．（2024·全国·高三专题练习）设，满足，则（????）
A． B． C． D．6
例6．（2024·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构?形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（????）
A． B．e C． D．1
例7．（2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式4．（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构?形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
变式5．（2024·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.
(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；
(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；
(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
变
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