专题17 轴对称之将军饮马模型（解析版）.docx

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专题17轴对称之将军饮马模型

什么是将军饮马？

传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题。

如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？

据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.

为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究.

两点一线

（和值最小）

1. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？

思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.

构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：

2. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？

思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.

构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：

（差值最大）

3. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？

构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：

4. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？

构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：

5. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？

构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：

二、一定两动

1. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？

构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：

2. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？

构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.

三、两定两动

3. 如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？

构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：

【典例分析】

【典例1】（2022春?漳州期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．

故选：D．

【变式1】（2021春?成都期末）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，

∴作A点关于l的对称点A，连接AB与l的交点为P，

由对称性可知AP＝AP，

∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，

故选：B．

【典例2】（2022春?埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）

A．4 B．4.8 C．5 D．6

【答案】B

【解答】解：如图所示：

过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，

过点M作MN⊥BC于点N，

∵BD平分∠ABC，

∴ME＝MN，

∴CM+MN＝CM+ME＝CE．

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，

∴S△ABC＝?AB?CE＝?AC?BC，

∴10CE＝6×8，

∴CE＝4.8．

即CM+MN的最小值是4.8，

故选：B．

【变式2-1】（2022春?河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）

A．5 B．3 C． D．

【答案】C

【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝3，

∴点F′在AC上