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第44讲数列求和

知识梳理

一．公式法

（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．

（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．

（3）一些常见的数列的前n项和：

①；

②；

③；

=4\*GB3④

二．几种数列求和的常用方法

（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．

（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．

（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．

【解题方法总结】

常见的裂项技巧

积累裂项模型1：等差型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

积累裂项模型2：根式型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

积累裂项模型3：指数型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6），设，易得，

于是

（7）

积累裂项模型4：对数型

积累裂项模型5：三角型

（1）

（2）

（3）

（4），

则

积累裂项模型6：阶乘

（1）

（2）

常见放缩公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）

；

（11）

；

（12）；

（13）．

（14）．

必考题型全归纳

题型一：通项分析法

例1．（2024·全国·高三专题练习）求和．

例2．数列9，99，999，的前项和为

A． B． C． D．

例3．求数列1，，，，，的前项之和．

变式1．（2024·全国·高三专题练习）数列的前n项和为.

变式2．（2024·全国·高三对口高考）数列的前n项和.

变式3．（2024·全国·高三专题练习）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为.

【解题方法总结】

先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识．

题型二：公式法

例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．

(1)求数列，的通项公式；

(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．

例5．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

例6．（2024·宁夏银川·高三银川一中阶段练习）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列

(1)求通项公式

(2)设，求数列的前项和

【解题方法总结】

针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．

题型三：错位相减法

例7．（2024·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）已知数列满足且

(1)若存在一个实数，使得数列为等差数列，请求出的值；

(2)在（1）的条件下，求出数列的前n项和．

例8．（2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）设数列?的前?项和为?，且?;数列?为等差数列，且?.

(1)求数列?的通项公式.

(2)若?，求数列?的前?项和?.

例9．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的首项为1，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若为前项的和，求.

变式4．（2024·西藏日喀则·统考一模）已知数列的前项和为，且.

(1)求，并求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

变式5．（2024·广东东莞·校考三模）已知数列和，，，.

(1)求证数列是等比数列；

(2)求数列的前项和.

变式6．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求其前项和

【解题方法总结】

错位相减法求数列的前n项和

（1）适用条件

若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．

（2）基本步骤

（3）注意事项

①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．

等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．

①

②

得：．

整理得：．

题型四：分组求和法

例10．