第60讲、直线与圆、圆与圆的位置关系（学生版）.docxVIP

PAGE2

第60讲直线与圆、圆与圆的位置关系

知识梳理

一．直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

二．直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心到直线的距离，则：

直线与圆相交，交于两点，；

直线与圆相切；

直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由，

消元得到一元二次方程，判别式为，则：

直线与圆相交；

直线与圆相切；

直线与圆相离．

三．两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

两圆相交；

两圆外切；

两圆相离

两圆内切；

两圆内含（时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系

相离

外切

相交

内切

内含

几何特征

代数特征

无实数解

一组实数解

两组实数解

一组实数解

无实数解

公切线条数

4

3

2

1

0

【解题方法总结】

关于圆的切线的几个重要结论

（1）过圆上一点的圆的切线方程为．

（2）过圆上一点的圆的切线方程为

（3）过圆上一点的圆的切线方程为

（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．

必考题型全归纳

题型一：直线与圆的位置关系的判断

例1．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（）

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定

例2．（2024·全国·高三对口高考）若直线与圆相交，则点（????）

A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系为（????）

A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交

变式1．（2024·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

变式2．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l：与曲线C：的交点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．无法确定

变式3．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）直线与圆的位置关系为（????）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

【解题方法总结】

判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与r的关系．

（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

题型二：弦长与面积问题

例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知直线：与圆：交于，两点，则．

例5．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则．

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．

变式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为.

变式5．（2024·广东广州·统考三模）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程．

变式6．（2024·广东深圳·校考二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为.

变式7．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有条.

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为.

变式9．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是.

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为.

变式11．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为.

变式12．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为．

【解题方法总结】

弦长问题

=1\*GB3①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．

=2\*GB3②利用交点坐标：