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第03讲不等式与不等关系(精讲)
题型目录一览
不等式性质的应用
比较数(式)的大小
已知不等式的关系,求目标式的取值范围
不等式的综合问题
一、知识点梳理
一、知识点梳理
1.比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
2.不等式的性质
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
【常用结论】
1.作差法比较大小的步骤是:
(1)作差;(2)变形;(3)判断差式与0的大小;(4)下结论.
作商比较大小(一般用来比较两个正数的大小)的步骤是:
(1)作商;(2)变形;(3)判断商式与1的大小;(4)下结论.
注:其中变形是关键,变形的方法主要有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数(式)大小最为常用的方法,如果要比较的两数(式)均为正数,且是幂或者因式乘积的形式,也可考虑使用作商法.
2.等式形式及不等式形式解题思路
二、题型分类精讲
二、题型分类精讲
题型一不等式性质的应用
策略方法
1.判断不等式是否恒成立,需要给出推理或者反例说明.
2.充分利用基本初等函数性质进行判断.
3.小题可以用特殊值法做快速判断.
【典例1】已知,则下列不等式一定成立的是(????)
A. B.
C. D.
【题型训练】
一、单选题
1.(2023·北京·汇文中学校考模拟预测)如果,那么下列不等式一定成立的是(????)
A. B. C. D.
2.(2023·全国·高三专题练习)已知,且,,则下列不等式中一定成立的是(????)
A. B.
C. D.
3.(2023·高三课时练习)给出下列命题:①若a>b,则;②若,则;③若a>b,则;④若,则.其中,正确的命题是(????).
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4.(2023·吉林·统考三模)已知,则下列不等式不一定成立的是(????)
A. B. C. D.
5.(2023·全国·高三专题练习)已知logax>logay(0<a<1),则下列不等式恒成立的是()
A.y2<x2 B.tanx<tany C. D.
6.(2023·全国·高三专题练习)已知,下列不等式中正确的是(????)
A. B.
C. D.
二、多选题
7.(2023·全国·模拟预测)若,,则(????).
A. B.
C. D.
8.(2023·全国·模拟预测)已知a,b为实数,且,则下列不等式正确的是(????)
A. B.
C. D.
9.(2022·全国·统考高考真题)若x,y满足,则(????)
A. B.
C. D.
题型二比较数(式)的大小与比较法证明不等式
策略方法比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法.
步骤:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论.
变形技巧:①分解因式;②平方后再作差;③配方;④分子、分母有理化;⑤通分.
(2)作商法:适用于分式、指数式、对数式,要求两个数(或式子)为正数.
步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④下结论.
(3)特殊值法:对于比较复杂的代数式比较大小,利用不等式的性质不易比较大小时,可以采用特殊值法比较.
【典例1】若,则下列不等式一定成立的是(????)
A. B. C. D.
【题型训练】
一、单选题
1.(2023秋·广东清远·高一统考期末)“”是“”的(????)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题
2.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)若,,且,则下列不等式中一定成立的是(????)
A. B.
C. D.
3.(2023秋·辽宁丹东·高一统考期末)若,,则下列不等式成立的是(????)
A. B.
C. D.
三、填空题
4.(2023春·吉林长春·高一校考阶段练习)设、为实数,比较两式的值的大小:_______(用符号或=填入划线部分).
5.(2023·全国·高三专题练习)已知a>0,b>0,则p=﹣a与q=b﹣的大小关系是_____.
四、解答题
6.(2023·高三课时练习)(1)已知a>b>0,c<d<0,求证:;
(2)设x,,比较与的大小.
7.(2023·全国·高三专题练习)比较与)的大小.
题型三已知不等式的关系,求目标式的取值范围
策略方法
1.判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法:直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质时要特别注意前提条件.
(2)特殊值法:利用特殊值排除错误答案.
(3)单调性法:当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
2.利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x,y
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