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PAGE8/自招A六年级第七讲

绝对值的代数意义第七讲

绝对值的代数意义

第七讲

1.基本要求

（1）掌握多重绝对值的化简；

（2）熟练掌握关于等类型题的分类讨论；

（3）熟练运用零点分段讨论法化简绝对值.

2.重点难点

（1）能利用零点分段法化简多个绝对值；

（2）善于求解在给定范围内的绝对值最值问题.

化简：

①当时，原式；

②当时，原式；

③当时，原式.

有理数不为零，且，则.

由题意得异号，所以

绝对值的代数意义进阶

绝对值的代数意义复习

代数意义：

描述：正数的绝对值等于它本身；的绝对值等于；负数的绝对值等于它的相反数.

拓展形式

绝对值等于本身的数是非负数，绝对值等于相反数的数是非正数

或

多重绝对值的化简

方法：从内到外一层一层根据绝对值性质依次去绝对值

型绝对值化简

注意：此类题型主要考虑绝对值内字母的正负，若为正，等于；若为负，等于.

★★☆☆☆

⑴已知，，且，化简．

⑵已知，，化简．

⑶若的值为一个定值，试求的取值范围．

⑴⑵⑶

★★★☆☆

⑴已知，化简．

⑵当时，化简．

⑶已知有理数在数轴上的位置如图所示，化简．

⑴⑵⑶

★★☆☆☆

⑴若均不为零，求的值.

⑵若，，求的值.

⑶已知是不为零的有理数，求的值.

⑴或⑵⑶或或

★★★☆☆

⑴已知，求的值.

⑵已知均不为零，且，求的值.

⑶已知，设，求的值.

⑴⑵⑶或

零点分段讨论法

零点分段讨论法步骤

求零点：令各绝对值式子为零的未知数的取值

分区间：在数轴上将零点标出，观察这些零点将数轴分成几部分

去绝对值化简

★★☆☆☆

⑴化简：

⑵化简：

⑴①当时，原式；②当时，原式.

⑵①当时，原式；

②当时，原式；

③当时，原式.

★★★☆☆

化简：

①当时，原式；

②当时，原式；

③当时，原式；

④当时，原式.

★★★☆☆

化简：

①当时，原式；

②当时，原式；

③当时，原式；

④当时，原式.

★★★★☆

⑴已知，求的最大值与最小值.

⑵已知，求的最大值与最小值.

⑴当时，的最大值为；

当时，的最小值为.

⑵当时，的最大值为；

当时，的最小值为.

将这个正整数任意分成组，每组两个数，现将每组的两个数

中任意一个数记为，另一个数记为，代入代数式中进行计算，求出其结果，组都代入后可求得个值，求这个值的和的最大值．

我们先对代数式进行讨论．当时，原式；当时，原式，也即此代数式求的就是与的较大数．这样只有让这个值取中最大的个，就是最后需要的结果了，显然最大值为．

⑴若，，化简

⑵已知，化简

⑴由题意得，，原式.

⑵原式.

⑴有理数满足，求的值.

⑵有理数满足，求的值.

⑴由题意得中必有两个正数，一个负数，则，所以.

⑵由题意得

①当中有三个负数，一个正数时，；

②当中有一个负数，三个正数时，；

综上所述，.

化简：

零点为，

①当时，原式；

②当时，原式；

③当时，原式.

化简：

零点为，，

①当时，原式；

②当时，原式；

③当时，原式；

④当时，原式.

已知，求的最大值和最小值.

零点为，

①当时，原式；

②当时，原式，得；

综上所述，当时，最大值为；当时，最小值为.

是一个五位自然数，其中、、、、为阿拉伯数

码，且，则的最大值是___________．

当时，，当，时取得最大值；

当，且时，，当，，时取得最大值．所以的最大值是．

若，求的值.

由题意得，原式

①当时，原式；

②当时，原式；

综上所述，原式.

证明恒等式：

可得到，

可得到，．

所以应该在，，，分段讨论．

当时，左边，右边．左边右边．

当时，左边．右边．左边右边．

当时，左边．右边．左边右边．

当时，左边．右边．左边右边．

所以对任意都满足．