2024年全国统一高考数学试卷（理科）(甲卷）[含答案].doc

2024年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则

A． B． C．10 D．

2．集合，2，3，4，5，，，则

A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，

3．若实数，满足约束条件则的最小值为

A．5 B． C． D．

4．记为等差数列的前项和．若，，则

A． B． C．1 D．2

5．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为

A．4 B．3 C．2 D．

6．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为

A． B． C． D．

7．函数的区间，的图像大致为

A． B．

C． D．

8．已知，则

A． B． C． D．

9．已知向量，，则

A．“”的必要条件是“”

B．“”的必要条件是“”

C．“”的充分条件是“”

D．“”的充分条件是“”

10．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：

①若，则或

②若，则，

③若，且，则

④若与和所成的角相等，则

其中，所有真命题的编号是

A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④

11．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则

A． B． C． D．

12．已知，，成等差数列，直线与圆交于，两点，则的最小值为

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．二项式的展开式中，各项系数的最大值是．

14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比．

15．已知，，则．

16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记表示前两个球号码的平均数，记表示前三个球号码的平均数，则与差的绝对值不超过的概率是．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品

合格品

不合格品

总计

甲车间

26

24

0

50

乙车间

70

28

2

100

总计

96

52

2

150

（1）填写如下列联表：

优级品

非优级品

甲车间

乙车间

能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？

附：，

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

18．（12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为．

19．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

20．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．

（1）求椭圆的方程；

（2），过的直线与椭圆交于，两点，为的中点，直线与交于，证明：轴．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，，求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出的直角坐标方程；

（2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．实数，满足．

（1）证明：；

（2）证明：．

2024年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则

A． B． C．10 D．

【解析】：因为，则，故，所以．故选：．

2．集合，2，3，4，5，，，则

A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，

【解析】：因为，2，3，4，5，，，4，9，16，25，，

所以，3，．故选：．

3．若实数，满足约束条件则的最小值为

A．5 B． C． D．

【解析】：作出不等式组所表示的平面区域