第13讲、函数模型及其应用（教师版）.docxVIP

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第13讲函数模型及其应用

知识梳理

1、几种常见的函数模型：

函数模型

函数解析式

一次函数模型

，为常数且

反比例函数模型

，为常数且

二次函数模型

，，为常数且

指数函数模型

，，为常数，，，

对数函数模型

，，为常数，，，

幂函数模型

，为常数，

2、解函数应用问题的步骤：

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题．

必考题型全归纳

题型一：二次函数模型，分段函数模型

【例1】（2024·全国·高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（????）

A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速

C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速

【答案】C

【解析】对于甲车，令，即

解得（舍）或，所以甲未超速；

对于甲车，令，即

解得（舍）或，所以乙超速；

故选:C.

【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，

所以，且，

所以，

又，所以，解得，即，

设，，则，

，所以在中，

有，

令，所以，

所以，

因为，所以，则要使最大，

即要取得最小值，即取得最大值，

即在取得最大值，

令，，

所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，

所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，

所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），

则射门时甲离上方端线的距离为：.

故选：B.

【对点训练2】（2024·云南·统考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：

一次购买件数

5-10件

11-50件

51-100件

101-300件

300件以上

每件价格

37元

32元

30元

27元

25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（????）

A．116件 B．110件 C．107件 D．106件

【答案】C

【解析】设购买的件数为，花费为元，

则，当时，，

当时，，所以最多可购买这种产品件，

故选：C.

【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（????）

A．720万元 B．800万元

C．875万元 D．900万元

【答案】C

【解析】该企业每年利润为

当时，

在时，取得最大值；

当时，

（当且仅当时等号成立），即在时，取得最大值；

由，可得该企业每年利润的最大值为.

故选：C

【解题方法总结】

1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．

题型二：对勾函数模型

【例2】（2024·全国·高三专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，

则年后的设备维护费用为，

所以年的平均费用为（万元），

当且仅当时，等号成立，

因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.

故选：B.

【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现