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第8讲幂函数与二次函数

知识梳理

1、幂函数的定义

一般地，(为有理数)的函数，即以\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank底数为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank自变量，幂为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank因变量，\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank指数为常数的函数称为幂函数.

2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

3、常见的幂函数图像及性质：

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

4、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：；

（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.

（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.

5、二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.

（1）单调性与最值

=1\*GB3①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；

=2\*GB3②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，

（2）与轴相交的弦长

当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则.

【解题方法总结】

1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

3、一元二次方程的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.

根的分布

图像

限定条件

在区间内

没有实根

在区间内

有且只有一个实根

在区间内

有两个不等实根

4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：=1\*GB3①轴处在区间的左侧；=2\*GB3②轴处在区间的右侧；=3\*GB3③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

必考题型全归纳

题型一：幂函数的定义及其图像

【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（????）

A． B．或 C． D．

【答案】A

【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则.

故选：A

【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（????）．

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】B

【解析】因为是幂函数，所以，解得或，

所以或，

对于，函数在上单调递增，在上单调递减；

对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；

故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．

故选：B

【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．9

【答案】B

【解析】设幂函数为，图象过点，故，故，

，.

故选：B

【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，定义域和值域均为，符合题意；

时，定义域为，值域为，故不合题意；

时，定义域为，值域为，符合题意；

时，定义域与值域均为R，符合题意；

时，定义域为R，值域为，不符合题意；

时，定义域与值域均为R，符合题意.

故选：C

【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）