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第2讲常用逻辑用语

知识梳理

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．

2、从逻辑推理关系上看

（1）若且，则是的充分不必要条件；

（2）若且，则是的必要不充分条件；

（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；

（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．

二．全称量词与存在量词

（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．

（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．

三．含有一个量词的命题的否定

（1）全称量词命题的否定为，．

（2）存在量词命题的否定为．

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．

【解题方法总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设．

（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．

（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；

（3）若，则与互为充要条件．

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语

等于

大于

小于

是

都是

任意（所有）

至多有一个

至多有一个

否定词语

不等于

小于等于

大于等于

不是

不都是

某个

至少有两个

一个都没有

（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例．

（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．

必考题型全归纳

题型一：充分条件与必要条件的判断

【解题总结】

1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．

3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．

例1．（2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例4．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知，，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【解题总结】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．

2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．

例5．（2024·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.

例6．（2024·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________．

例7．（2024·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是__________.（写出满足条件的一个值即可）

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论．

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．

例8．（2024·河北·高三学业考试）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（????）

A．，有 B．，有

C．，使得 D．，使得

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．

其中是真命题的有（????）

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

例10．（2024·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题：

①，使