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PAGE3/8年级自招A班教师版第4讲

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第四讲

经典几何题

一、全等三角形

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：

⑴平移全等型

⑵对称全等型

⑶旋转全等型

二、由全等可得到的相关定理：

⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑵在角的内部，到角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶等腰三角形的性质定理：等边对等角．

⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸等腰三角形的判定定理：等角对等边．

⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

⑻直角三角形斜边中线等于斜边一半．

常见的辅助线做法（倍长中线，翻折，截长补短，构造三垂直，平移，翻折，旋转）；

利用三角形全等来证明结论（线段的数量关系或位置关系或求角度）；

掌握构造等边三角形求角度的特殊辅助线做法．

★★☆☆☆

考查下列命题：

①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；

②两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；

③两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等；

④一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑤两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；

⑥三角形个边、角元素中，有个元素分别相等的两个三角形全等．

上述说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例．

正确的是②⑤．

命题①当该角是直角时，显然全等可证（）．

当该角是钝角时，如图，作于，作于．

易证得，故有；

由此可证得，故有；

所以有

当该角是锐角时，如图，与重合，与重合,满足，，，但显然和不全等．

并不能直接判定两个三角形全等，但当已知相等的角为钝角或直角时，可判定两个三角形全等．

命题②用角角边易证全等，略

命题③的反例：如图，在与中，，，边上的高相等，但两个三角形不全等．如图，在与中，，，与边上的高相等，但两个三角形不全等．

（图）（图）

命题④的反例：如图，是中的角平分线．则在与中，，与边上的高相等，与边上的高相等（易证得，尽量不要用角平分线性质），但两个三角形不全等．

综上所述，4个命题都不正确．

命题⑤的证明（中线是第三边上，另外一个易证）：如图，在和中，，，、分别为、的中点，且．分别延长、到、，使得，，联结、

显然，

故，

显然，∴

显然∴，∴，

∴．

命题⑥的反例：由三个角相等，知，由于与的对应边成比例，设的三条边长分别为;的三条边长分别为．从而它们有个边角元素分别相等，但它们并不全等．

★★☆☆☆

在中，是内心，且.证明：．

上截取（相当于翻折），联结，可证,ze,

则是等腰三角形，．

★★★☆☆

如图，在中，分别平分，已知，求的度数．

在上截取，则，则

故

★★★☆☆

在中，是的平分线，在外取一点，使得，，设交于点，求证：．

法一：过作的垂线，垂足分别为，作于，证全等结合角平分线性质即可

法二：在上截取，联结，作，交于，证，得，

∴，则

★★★☆☆

已知：如图，中，，为上一点，为上一点，与交于，且．求的大小．

在上截取，联结，易证

★★★☆☆

已知：如图，正方形和正方形,点是线段的中点.

⑴试说明线段与的关系;

⑵如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

⑴如图，延长到点，使得，联结.

由倍长中线的模型，可证.则,.故

又.∴,，.则为等腰直角三角形.

,且.

⑵作同样的辅助线证明全等即可.

★★★★☆

⑴如图，四边形是一个正方形，在、上有两点，使得,求证：.

⑵如图，是一个正方形，点分别在线段上，满足．点在线段上，满足，求证：．

⑴夹半角模型：延长到点,使得.则可证,.

再证明.则.在四边形中，，

,故.

⑵作，联结，由，即，则易证，故，进而．故．在四边形中，，故．而，所以．

★★★★☆

如图，，，，，求整个图形的面积．

如图，AB＝AC，将△ADC绕A点逆时针旋转90°到如图所示位置．延长AE、FB交于G点．AE＝EG＝7.5，AD＝AF＝BG＝a．

由勾股定理：a2＋(a＋9)2＝(7.5＋7.5)2，a2＋a2＋18a＋81＝225

2a2＋18a＝144，

整个图形面积等于△AFG面积，即：(9＋a)×a÷2＝(9a＋a