7自招 第8讲 直角三角形（特殊三角形与三垂直模型）（学生版）.docxVIP

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PAGE2/自招体系7年级第8讲

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第八讲

第八讲

直角三角形（特殊三角形与三垂直模型）

直角三角形

（特殊三角形与三垂直模型）

★★

如图，在中，，．

求证：．

取中点，联结

则，又，是正三角形

得证．

★★

如图，在中，，．

求证：．

取中点，联结

则，又，，是正三角形

得证．

特殊三角形

两个特殊的直角三角形（三角板）：

①含，，角的直角三角形三边之比为．

②含，，角的直角三角形三边之比为．

③特殊角结论：

Ⅰ．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

Ⅱ．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于．

注：与此相关的一个常用结论：

，，的等腰三角形三边之比为．

★★

如图，中，，，，求的度数，及的面积．

★★★

⑴如图，在四边形中，，,，,求的值．

⑵如图，四边形中，，，，，，求四边形另两边的长．

⑶如图，四边形中，，，，，，

求的长．

如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结．求证：．

★★★★

如图，在中，，，于点，过点作，联结，点为上一点，且，联结交于点，交于点．

⑴若，，求的面积；

⑵点为的中点时，求证：．

★★★★

如图，在正方形中，过点作，在上取点，使得，联结，，交于点，求证：．

射影模型＆三垂直全等模型

直角三角形的全等判定：

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为）．

(PS:不一定是，也可以用一般三角形的4种判定方法证明，看具体情况)

射影模型：

⑴已知，，则：

①；②

⑵进一步，若平分交于、交于，则：．

三垂直全等模型：

⑴已知：如图①，，，经过点，于，于．

求证：

⑵已知：如图②，，，经过点，于，于．

求证：

⑶已知：如图③，，，于，交于，交于．

求证：

①②③

一线三等角

锐角型 钝角型

注：三垂直模型一般化，为一线三等角全等，在一些学校中直接将三垂直模型叫做一线三等角

★★★

如图，中，，于点，平分交于，交于，且交于，求证：．

★★★

如图所示，以边往外作等腰直角三角形，其中，．过点的直线垂直于，交于，求证：．

★★★

已知：如图，等腰直角中，，为边上的中线，交于，联结．求证：．

如图，已知，点是线段上的动点，以为边作正六边形，以为底作等腰，联结、，求的面积的最大值．

如图，为上一点，，，．求的度数．

已知：如图，，，，．求、长．

如图，、是等边两边上两点，，联结相交于点，于．

求证：．

已知：如图，在四边形中，，，，，．求这个四边形的面积．

已知：中，是直角，是上一点，，过作的垂线交于．

求证：．

如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，平分交于点．求证：垂直平分．

如图，在正方形中，点是上一动点，联结，分别过点,作，，垂足分别为,．

⑴请你探索、、这三条线段的长度具有怎样的数量关系？

⑵若点在的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的关系？

⑶若点在的延长线上（如图），这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？

图1图2图3

如图，梯形中，，以两腰，为一边分别向两边作正方形和，的垂直平分线交线段于点．求证：点为的中点．

已知：如图，，和是等腰直角三角形，，，，求四边形的面积．