7自招A 第2讲 分式的恒等变形（二）（教师版）.docxVIP

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PAGE8/自招A7年级教师版第2讲

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第

第二讲

分式恒等变形（二）

分式恒等变形（二）

已知，求证：．

设，则，，，从而，，于是

左边

，

右边．

原式成立．

分式比例的性质:

如果，那么（传递性）

如果，那么（内项积等于外项积）

如果，那么（合、分比性质）

如果，，那么（合分比定理）

如果且

那么（等比性质）

分式的恒等变形：

分式的恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使化简、证明过程更加简洁．在此我们总结几种分式中常见的处理技巧：

1．直接代入法

2．倒数法

3．倒数对称式：熟练掌握好倒数对称式的一系列恒等变形

4．分式性质：依据分式性质，分子分母同乘或者同除以同一因式后进行变形

5．因式分解法

6．换元技巧

7．设法：对于连等式，可选择设后进行处理

8．裂项法

★

已知，，，且，求证：．

倒数法，由已知可得，，，则．又因为，

所以，故，得证．

★★★

设，求的值．

由，得．

．

★★★

⑴已知：，，，且．求证：

⑵已知：，，，．求证：

⑴直接代入，

故

⑵法一：直接解出、、后代入．解方程组

⑵+⑶-⑴，得，所以，，所以

同理可得，，

所以，得证．

法二：应用分式性质，分子分母同乘以某因式后化简

，同理：，

相加后即可．

★★★

已知：实数、、满足关系式，求证：．

由已知得，

故，得证．

（强行对两式通分对比也可以算，计算量较大，不推荐）

★★★

已知：实数、、满足关系式，求证：或．

分两种情况讨论：，．

若，原式

若，则原式

综上，或．

★★★★

已知：，求证：．

因为，则

同理，计算和，相加即可．

以上的题均为相似的思想：从条件的分式出发，构造结论分式，或者从结论的分式出发，构造条件中的分式．

★★★★

已知：，求证：．

因为，

同理，，，

所以原式．

注：六春目标班有类似题型：已知，求证：．

★★★★

已知：，求证：，，中至少有一个等于．

即中至少有一个等于，得证．

【注】本题关键在于“至少有一个等于”这个条件的等价转化．建议老师强调一下．

★★★★

已知：．求证：对任意奇数，均成立．

法一：从入手，可以减少计算量

⑴当时，，代入原式符合题意

⑵当时，则，即

或，

即中必有两个数互为相反数．

法二：由已知得，即

因式分解有

不妨设，即，因为为奇数

∴又

∴．

★★★★

已知，，满足，求证：这三个分式的值有两个为，一个为．

原式可化为：

得：所以或或

⑴若，则，

，

⑵若时，同理可得：，，

⑶若时，同理可得：，，

已知，，，求证：．

由已知可得，，，得，

所以，得证．

已知，且，求的值．

由题意得：，则

，解得．

已知：，，，求证：．

，，同理可得：

，，，

因此，得证．

⑴已知是方程的根，求的值．

⑵已知满足，，求的值．

⑴由已知得，即，整体代入：

原式．

⑵将和看作两个整体：

，解得，

故原式．

已知：，求证：．

设，则，

左边

右边

∴左边=右边．

已知，求证：．

由已知，

其中，

所以，

因此．

已知：、、是互不相等的实数，且，求证：

由，得，即

同理，，．

故．

已知、、都是非零且互不相等的实数，、中至少有一个不为零，且，求证：．

，

则，由①②消去，得，

由②③消去，得，

由④⑤消去得，

∴