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PAGE12/自招A7年级教师版第4讲

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第

第四讲

等腰三角形

等腰三角形

等腰三角形的基本性质

等腰三角形：

有两条边相等的三角形．

性质：

⑴等边对等角

等腰三角形的两个底角相等．

⑵等腰三角形的三线合一

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

⑶图形特点：

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．

判定：

等角对等边

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形．

★★★

⑴已知一个等腰三角形的两条边为和，则这个等腰三角形的周长为．

⑵已知一个等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形另外两个角为．

⑶已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为．

⑷已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数．

⑴；⑵若为顶角，则另两角为、；若为底角，则另两角为、．

⑶由于未指明高的具体位置，所以此问题应分高在等腰三角形内部和外部两种情形．

①当高在内部，且时，顶角的度数为；

②当高在外部，且时，顶角

⑷分情况画图：首先可画出两种图形（锐角等腰和钝角等腰）,对给定的一个图中，位置确定，点和点的位置不确定（谁在顶角顶点），再分两种情况讨论，故一共种情形，最后答案有个（舍掉1个）：

若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为，，；

若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为，，；

若为锐角三角形时，为顶角时，三内角大小为，，．

等腰三角形的这一类问题，注意分类讨论．

★★

如图，已知，是中点，，求证：⑴；⑵．

⑴是中点，（线段中点的意义）

（已知）（等边对等角）

（已知），（两直线平行，内错角相等）

（等量代换）

在三角形与中

（全等三角形的对应边相等）

⑵（全等三角形的对应角相等）

在三角形与中

（全等三角形的对应角相等）（等角对等边）

★★★

已知：如图，五边形中，，，，为中点．

求证：．

延长、交于点，延长、交于点．

易证得，故，

，又，，，

则根据三线合一，有．

★★★

如图，在中，，，为边的中点，交延长线于点，平分交于点，

求证：⑴；⑵点为的中点．

⑴

⑵联结，，又

∴

也可联结，为旋转全等

注：延长交于，则根据比例线段（中位线），可直接得到为中点

等腰三角形的角度问题

在等腰三角形的角度问题中，经常用到设未知数解题的思想．

★★

黄金三角形是一类非常美观的等腰三角形，通过将它切割，能够分割成另两个稍小的等腰三角形，存在如下两种类型的黄金三角形：

⑴如图，在等腰中，，经分割后得到两等腰三角形，其中，求的各个内角度数．

⑵如图，在等腰中，，经分割后得到两等腰三角形，其中，，求的各个内角度数．

⑴如图设未知数，则，此时三角形内角分别为、、；

⑵如图设未知数，则，此时三角形内角分别为、、．

★★★★

如图所示，已知在中，、分别平分它的两个外角，并分别与两条边、的延长线交于点、．若，则．

如图，设，由，得，故（外角性质），又平分，故，因此（对顶角相等）；又，故，又（外角性质），故，又平分，因此，因此在中，，解得，即．

★★★★★

将一个等腰划分成两个较小的等腰三角形，问这样的有几种？并将满足条件的的所有内角列出来．

如图所示，

设等腰三角形分成与．不妨假设；

于是，等腰中，只能有．这时，而有三种情况．

⑴，则，为等腰

直角三角形．

⑵，设，则，

，，

由于，．

若，则，；

若，则，．

⑶，设，，；显然；

由得，．

综上所述，总共有组解；所求三角形的三个内角分别为（,，）；

（，，）；（，，）；（，，）．

等边三角形全等模型

1．等边三角形的性质：

⑴等边三角形的三条边相等，三个角相等，都是；

⑵作为特殊的等腰三角形，等边三角形具备等腰三角形的所有性质

2．等边三角形的判定：

⑴三边都相等的三角形是等边三角形．

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形；

⑶有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．

3．等边三角形中的全等：

前提：在等边中，

结论：①②．

PS：②的导角过程，由全等知．

推广：正方形中，，则

正五边形中，，则

根据以上探索，你能否继续推广到正变形中？可以得到什么结论？

4．手拉手模型（PS：正方形同理）

已知和为等边三角形，、相交于，则：

①；②线段与的夹角为；③平分（选讲）．

进一步，若、、共线，则（选讲）：

④为等边三角形；⑤．

本模块望各位老