第2讲 动点存在性问题综合（学生版）.docxVIP

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PAGE11/8年级自招A班第2讲

第二讲

动点存在性问题综合

利用分类讨论的数学思想，一般利用特殊三角形和四边形的性质，通过勾股定理去计算．

等腰三角形：两圆一垂

直角三角形：两垂一圆

平行四边形：主要利用对角线互相平分

梯形：一边平行，一边不平行

（详细知识点请参考暑假班讲义）

★★★☆☆

如图，已知在中，，垂足为，的平分线交于点，点为边上的动点（不与重合），连接．

⑴求的长．

⑵设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．

⑶当为以为腰的等腰三角形时，求的长．

备用图

★★★☆☆

如图所示，在等腰梯形中，,是的中点，过点作交于点.，，.

⑴求点到的距离.

⑵点是线段上的一个动点，过作交于点,过点作交折线于点，联结，设.

①当点在线段上时，的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由.

②当点在线段上时，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

★★★★☆

已知长方形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限内.

⑴若是直线上一点，且是等腰直角三角形，求点的坐标；

⑵若是直线上一点，且是等腰直角三角形，求点的坐标．

★★★☆☆

如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，轴，且点的纵坐标为，双曲线经过点．

⑴求的值及双曲线的解析式；

⑵过点的直线与双曲线的另一个交点为点，且的面积为．

①求直线的解析式；

②过点作轴交直线于点，点是直线上的一个动点．若将以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点的坐标．

★★★★☆

已知：矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．

⑴如图，连接．求证：四边形为菱形，并求的长；

⑵动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，

①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．

②若点的运动路程分别为（单位：），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式．

★★★☆☆

如图，在平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，与轴相交于点，矩形的边,的长是关于的一元二次方程的两个根，且.

⑴求线段的长；

⑵求证:,并求出线段的长;

⑶直接写出点的坐标；

⑷若是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由.

★★★☆☆

如图，矩形的顶点在原点，分别在轴和轴的正半轴上，,,反比例函数的图象与交于点，与交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，和交于点.

⑴求证:.

⑵在直角坐标平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形为以为腰的等腰梯形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，在中，是的中点，是边上一动点，联结，过点作交边于点（点与点、不重合），延长到点，使，联结、，已知，，．

⑴求证：；

⑵设，，求与的函数解析式，并写出定义域；

⑶当是以为腰的等腰三角形时，求的长．

如图，在等边三角形中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．填空：

①当为时，四边形是菱形；

②当为时，以为顶点的四边形是直角梯形．

在梯形中，，，，点从点开始沿边以每秒的速度移动，点从点开始沿边以每秒的速度移动（当点到达点时，点与点同时停止移动），假设点移动的时间为(秒)，四边形的面积为．

⑴求关于的函数解析式，并写出的取值范围；

⑵在移动的过程中，求四边形的面积与四边形的面积相等时的值；

⑶在移动的过程中，是否存在使得，若存在求出所有的值，若不存在请说明理由．

如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为．动点分别从同时出发，以每秒个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动．过点作，交于，连接．已知动点运动了秒．

⑴点的坐标为；（用含的代数式表示）

⑵试求面积的最大值，并求此时的值．

⑶请你探索：当为何值时，是等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

备用图

如图，已知：在中，，，是上不与、重合的一动点，于，于．

⑴求证：；

⑵设的长为，的长为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

⑶能否平行于？如果能，试求出的值；若不能，请简述理由．

已知一次函数的图像经过点及点，设该图像与轴交于点,与轴交于点．问：在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，把符合条件的点的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

已知：如图，正方形的对角线相交于点，是边上的一个动点，交对角线于点，交对角线于点、边于点．

⑴求证：．

⑵联结，如果，求的值．