第5讲 比例线段（二）（教师版）.docxVIP

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PAGE15/8年级自招A班第5讲教师版

第五讲

比例线段

（二）

上讲内容回顾：

图形

结论

逆命题

不成立

（“”字型）

成立

（但若已知

或

不成立）

（“”字型）

成立

（但若已知

或

不成立）

掌握三角形的重心定理；

掌握角平分线性质定理，会利用定理进行相关的证明．

重心及角分线性质定理

1．三角形的重心：

定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

三角形重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍．

三角形重心定理

若为的重心，

则．

（据图填出结论）

三角形的五心：心，心，心，心，心．

2．三角形内角平分线的性质定理

三角形的内角平分线内分对边所成的两条线段，和两条邻边对应成比例．（请给出证明）

如图，中，已知是的平分线．

求证：

法一：面积法，过作，垂足为点，由角分线定理，，，又与是高相等的三角形，，所以．

法二：构造“”字型．过点作交交的延长线于，则

∵，∴，

由已知可得∴∴

∴

法三：构造“”字型．过点作交的延长线于，

于是有．∵∴

由已知可得∴

∴∴

3．三角形外角平分线的性质定理

三角形的外角平分线外分对边所成的两条线段，和两条邻边对应成比例．

如图，平分的外角，则有：

提示：过作，交于．

4．重心类问题常见辅助线添法：联结三角形顶点与重心并延长与对边相交，交点即是对边中点，有直角三角形存在时，经常利用直角三角形斜边中线等于斜边一半．

5．角平分线类问题常见辅助线添法如下：

★☆☆☆☆

⑴若点是的重心，，则；．

⑵已知点是面积为的的重心，那么的面积等于．

⑶已知：如图，，的中线交于点,则，，．

⑴延长交于，点是的中点，可得，所以

⑵．

⑶易得，∴∴

，

★★☆☆☆

⑴如图，在中，，是的重心，如果，那么．

⑵已知：中，,是的重心．

求：点到直角顶点的距离；点到斜边的距离．

⑴；

⑵作于，于，则，∴，

，；

★★☆☆☆

如图，在中，点是中点，的平分线交边于点，的平分线交边于点．求证：．

平分，平分，

∵，∴．

★★★★☆

已知：、分别为的内、外角平分线，求证：．

由三角形内、外角平分线性质定理得：

，，∴，

故，即

整理得：，∴

★★★☆☆

如图，在中，平分交于点，．

⑴求证：；

⑵若，求的值；

⑶若，求的值；

⑷若,求的值．

⑴∵平分，∴

又∵，∴

∴，∴

∵，∴

∴

∴

⑵作交作于点，易得

由⑴知，则，即有

⑶

⑷

比例线段

（接上讲）题中若没有平行线需作平行线构造出字型或字型，解决相关线段的比值或证明题．

★★★☆☆

如图，设，，，，，，且，，．则．

由平行线分线段成比例定理，可得，，，将三式相乘可得，故．

★★★☆☆

如图，设正的边长为，，分别是，的中点，为上任一点．，的延长线分别交，于，．求证：．

易知为的中位线，所以，．

∴，，∴

∴，整理可得．

★★★☆☆

⑴如图，中，是的中点，在上截取，交于，求的值．

⑵如图，已知：的对角线交于点，点在延长线上，交于．若，求的长度．

⑴延长交延长线于．

∵，∴，

∴

∴

⑵延长交延长线于点，交于点，

★★★★☆

如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：．

延长、交于点，联结，则，、、三点共线，且，

∵，，∴，，∴，

又∵，∴，∴，，

∴，∴即

⑴已知中，是三角形的重心，，，则的长为．

⑵如图，中，是三角形的重心，，求．

⑶在中，，点是斜边的中点，是的重心，于点，若，则．

⑴延长交于，，

⑵；

⑶联结并延长交于，

如图，中，，交于，交的延长线于．求证：．

已知：在中，为中点，是对角线上一点，且，的延长线交于，则．

延长交延长线于，，可得，∴

已知：如图，是平行四边形的对角线上一点，射线与交于点，与的延长线交于点，求证：．

即有

如图，在梯形中，相交于点，过点作平行于的直线，分别交于点，

⑴求证：．

⑵若平行于的直线不过点，但与两腰相交，求证：．

⑴∵

∴

∴，即．

⑵∵，∴，，

∴即有．

记住此题中的图形，经常出现，很重要．

在中，点是重心，过点的直线分别交边、于点、，求证：．

法一：

过作交延长线于，分别延长、交于，则

，，，即

∴．

法二：

分别过点、作，，交延长线于，延长线于，则，，且易知为梯形中位线，，

则有．