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PAGE8/自招A班8年级教师版第12讲
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第十二讲
相似三角形复杂模型
线束模型:
如图,已知,则有结论:
★★☆☆☆
已知等腰三角形,.是的中点,,垂足为,过作,垂足为,交于点.求证:.
如图,作,垂足为,交于点.
由线束模型易知:,又是三角形的重心,.所以.
注:为干扰条件,^_^
★★★☆☆
设、为的边上的两点,且满足,一平行于的直线分别交于,求证:.
过、点分别作的平行线交于交于点,由于,所以,易知,且,所以,即,又因为,于是,所以,即.
★★☆☆☆
点在上且,的延长线交于点,于点,若,求的值.
延长交延长线于点,由线束模型,
又,得
已知四边形,对角线和交于点,过点作,分别交于两点,与的延长线交于点.求证:.
延长、交于点.由线束模型可知,.
故,即.
★★★★☆
设分别的中点,为上任一点,在上,平行于,在上,平行于,交于,交于,求证:.
易知为的重心,则
(线束模型)
(字型),故.
★★★★☆
如图,已知、分别是的边、上的点,、交于点,、交于点,过点作的平行线分别交、、于、、.求证:.
(线束模型)设交于
∴在中,,即;
在中,,即
在中,,即
∴,即
★★★★☆
如图,梯形中,对角线和腰相等,是底边的中点,是腰的延长线上的点,交于,求证:.
设交于,交于,延长交于,
★★★★☆
如图,是的高上的任一点,分别交于,求证:.
过作的平行线分别交的延长线于分别过的三条直线都截于三点,从而,有
由,得,即
利用,即有
★★★★☆
在中,是上一点,过点分别作交于,交于,点是延长线上一点,联结分别交于,再联结.求证:.
延长交延长线于点,(或延长与相交)
或延长与交于点,
★★★★☆
如图,在中,,,,为边中点,为边上一点(点不与点重合),直线交延长线于,设线段长为,线段长为.
⑴求关于的函数解析式并写出定义域;
⑵过点作平行线交与点,在延长线上取一点,使得,联结.求证:.
⑴辅助线如图,
⑵;
中,是上一点,交于,交于,交于,的延长线交于,连交于,求证:.
线束模型:
如图,中,,正方形的四个顶点在的边上,连接分别交于两点.
①如图,若,直接写出的长;
②如图,求证:.
①由三角形内接正方形模型,易得正方形边长为,由线束模型,
②
如图,四边形是梯形,点是上底上一点,的延长线与的延长线交于点,过点作的平行线交的延长线于点,与交于点.证明:.
延长、交于.由,得,故即证,即证.
即证,又由,得,故即证.
由,易得,得证.
中,,,,,交于.求.
过作,再用梅涅劳斯定理,
设是的边上的点,且,任作一直线分别交于,试证:.
若,易证结论成立
若与不平行,设交直线于.过点作的平行线交直线于.由,可知,易知
则
设凸四边形的对角线的交点为,过点作的平行线分别交于点,交的延长线于点,是以为圆心为半径的圆上一点(位置如图),求证:.
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