第3讲 自招专题之二次函数（三） 自招A班（教师版）.docxVIP

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PAGE14/自招A班9年级第三讲

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自招专题之二次函数(三)第三讲

自招专题之

二次函数(三)

第三讲

二次函数内的面积问题

坐标系内任意三角形面积

对于两顶点在坐标轴上的三角形：

法一：；法二：

利用补形法求任意三角形面积：

当三角形的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接运用三角形的面积公式不易求解，可运用补形法，把三角形补成长方形（或梯形），从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形的面积．

利用水平宽和铅垂高求三角形面积

过三角形的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线．外侧两条直线之间的距离叫做三角形的水平宽，中间的这条直线在三角形内部线段的长度叫做三角形的铅垂高，这时三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的二分之一．

已知在平面直角坐标系中，存在，顶点为，，，试求的面积．

解析：

分别过点，，作轴的垂线，设交于

易得，直线的解析式为

∴，即，则

注：要学会举一反三，水平宽与铅垂高的应用，有种类似的变形，铅垂宽与水平高．

总的来说，就是应用割补法将图形转换成底边与坐标轴平行或重合的规则图形．

★★

对称轴为直线的抛物线与轴的交点为、两点，其中点的坐标为．

⑴求点的坐标；

⑵已知，为抛物线与轴的交点．

①若点在抛物线上，且，求点的坐标；

②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．

⑴点的坐标为

⑵①当时，设抛物线的解析式为

代入点，得；解得，

∴抛物线的解析式为，即

当时，，即点的坐标为∴

设点的坐标为，∴

解得，或，此时，或

∴点的坐标为或

②设点的坐标为，则点的坐标为

∴

∴线段的最大值为．

★★★

如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴交于、两点，与轴交于点，其中、．

⑴求这条抛物线的函数表达式；

⑵已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标．

⑶在⑵的情况下，若点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作交轴于点，联结、，设的长为，的面积为，求与之间的函数关系式，试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

⑴设抛物线的解析式为，代入点和点

得，解得，

∴抛物线解析式为，即．

⑵当点为线段与抛物线对称轴交点时，的周长最短

设直线的解析式为，代入点和点

得，解得，∴直线的解析式为

当时，，即点的坐标为

⑶∵，∴，即，∴

∵，；∴为平行四边形，∴

∴

∴，即当时，．

法二：∵∴

即当时，．

★★★

已知，在矩形中，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图像与边交于点．

⑴求证：与的面积相等；

⑵记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

⑶请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

⑴易证与的面积相等．

⑵由题意知：两点坐标分别为，，则

所以

当时，

⑶，，，

∴．∴，解得，．

∴，即，

解得，则．∴存在符合条件的点，它的坐标为．

★★★★

如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．

⑴求抛物线的表达式；

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

⑶点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．

⑴．

⑵分别以、为圆心，为半径作弧，与对称轴有三个交点：

；；．

⑶联结，设，

．

∴时，最大，最大值为．

∴．

法二：

为定值，只要确定的最大值即可，使用铅垂高与水平宽（第八讲）．

★★★★

如图，已知抛物线的顶点在第四象限，过点作轴于点．是线段上一点（不与、重合）．过点作轴于点，并交抛物线于点．

⑴若点的横坐标为，且是线段的中点，求点的坐标；

⑵若直线交轴负半轴于点，且，求四边形的面积关于的函数解析式，并写出定义域；

⑶在⑵的条件下，当的面积等于时，求的值．

⑴，即

又∵点的横坐标为，且是线段的中点；∴

∴．

⑵设，则；

代入，得（舍去）

∴

∴

⑶，解得，（舍）或．

二次函数综合问题

构造二次函数解题的思想．

★★★

已知实数、、满足，证明：．

观察不等式，考虑构造韦达定理

设函数

其中，

可知函数图像和轴必有两交点

即

★★★★★

一幢层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳人，而且只能在第层到第层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感