第10讲 等腰三角形的存在性问题 自招自招A（学生版）.docxVIP

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PAGE17/9年级自招自招A班第10讲

等腰三角形存在性问题第十讲

等腰三角形

存在性问题

第十讲

判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：

①从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；

②从角度入手，证明一个三角形的两个角相等．

解题中的常用技巧，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质，常用的构造方法有：

1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形；

2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形；

3、用“垂直平分线”构造等腰三角形；

4、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．

压轴题中点的存在性——等腰三角形

几何法：①分别以点、为圆心，为半径作圆，找点，，，．（检验）

②作线段的垂直平分线，找点．（检验）

※※※计算中经常用到（角大小知道时，相当好用！）

代数法：设点的坐标为，求出、、的长度，分类讨论：

①；②；③．求出点．（检验）

★★

⑴在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是轴正半轴上的一个动点，如果是等腰三角形，则点坐标为________．

⑵如图，在矩形中，，，动点以个单位/秒的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以个单位/秒的速度从点出发，沿向点移动，当、两点中其中一点到达终点时则停止运动．在、两点移动过程中，当为等腰三角形时，的值为________．

⑶【自招A】如图，在矩形中，，．联结，的角平分线交于点，现把绕点逆时针旋转，记旋转后的为．当射线和射线都与线段相交时，设交点分别为，．若为等腰三角形，则线段长为________．

坐标系背景下的等腰三角形分类讨论

★★★

已知，一条抛物线的顶点为，且过点，与轴交于点，点是这条抛物线上一点，它的横坐标为，且，过点作轴，垂足为，分别交线段、于点、．

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵求证：；

⑶当是等腰三角形时，求的值．

★★★★

如图，已知一次函数与正比例函数的图像交于点，且与轴交于点．

⑴求点和点的坐标；

⑵过点作轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．问：是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

★★★★

已知抛物线（是常数）的顶点为，直线：

⑴求证：点在直线上；

⑵若以抛物线和直线的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的的值．

⑶当时，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，与直线的另一个交点为，是轴下方抛物线上的一点，，求点的坐标；

几何图像中等腰三角形分类讨论

★★★

如图，已知锐角的正切值等于，中，，点在的边上，点在内，，．直线经过点，并绕点旋转，交射线于点，交射线于点．设，

⑴求时，点到的距离；

⑵设的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

⑶当因的旋转成为等腰三角形时，求的值．

★★★★

如图，梯形中，，，，，，在边上，

且.

⑴如图①，联结，求证；

⑵如图②，作，交射线于点，交射线于点，若，，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域；

⑶若是等腰三角形，求的值．

图①图②备用图

★★★★★

已知，，，（如图），点、分别为射线上的动点（点、都不与点重合），联结、使得，射线交射线于点．，．

⑴如图，当时，求的长；

⑵当点在点的右侧时，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；

⑶联结交于点，若是等腰三角形，直接写出的值．

【自招A】★★★★★

已知：如图1，在矩形中，，垂足是，点是点关于

的对称点，联结．

⑴求和的长；

⑵若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度），当点分别平移到线段上时，直接写出相应的的值；

⑶如图2，将绕点顺时针旋转一个角（），记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点，与直线交于点，是否存在这样的两点，使为等腰三角形？若存在，求出此时的长,若不存在，请说明理由．

如图，正方形的边长是，点在边上，，点是边上不与点，重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为________．

如图，正方形的边长为，点是边上一动点，于，连，

⑴设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围．

⑵求为何值时，是等腰三角形？

在平面直角坐标系中，己知点，，．

⑴求过、、三点的抛物线的解析式．

⑵在第一象限的抛物线上存在点，使以、、、为顶点的四边形面积