2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）.docx

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2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）

一．解答题（共10小题）

1．（2024?广汉市校级模拟）设函数h（x）是定义在（﹣3，3）的偶函数，且当x∈[0，3）时，h（x）＝log2（3﹣x），将函数h（x）中x∈[0，3）和x∈（﹣3，0）两部分的表达式相加得到函数y＝f（x）．

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）判断函数y＝f（x）的奇偶性；

（3）讨论函数y＝f（x）在定义域内的单调性，并证明．

2．（2024?昔阳县校级模拟）已知幂函数f（x）＝（6m2﹣m）xm在（0，+∞）上是增函数；

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（8﹣2a）＜f（a+2），求a的取值范围．

3．（2023?青岛学业考试）若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”．

（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣16一定为20的倍数；

（2）若m＝p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H(m)=qp，例如24＝52﹣12，称数对（5，1）为“友好数对”，则H(24)=15，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的

4．（2023?南京二模）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣logax，a＞1．

（1）若a＝e，求证：f（x）≥1；

（2）若关于x的不等式f（x）＜1的解集为集合B，且B?（1a，a），求实数a

5．（2023?大荔县一模）计算下列各式的值．

（1）27

（2）log

6．（2023?广西一模）已知函数f（x）＝log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；

（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

7．（2023?抚松县校级一模）（1）（log37+log73）2-log

（2）log

8．（2022?黄浦区二模）设a为常数，函数f(x)=lo

（1）若a＝0，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；

（2）若a≤0，根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．

9．（2022?德阳模拟）已知函数f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值为1．

（1）求常数a的值；

（2）若?x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜0．

10．（2021?普陀区二模）设函数f（x）＝log2x（x＞0）的反函数为f﹣1（x）．

（1）解方程：f（x+2）﹣2f（x）＝0；

（2）设y＝g（x）是定义在R上且以2为周期的奇函数，当0＜x＜1时，g（x）＝f﹣1（x），试求g（log210）的值．

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2024?广汉市校级模拟）设函数h（x）是定义在（﹣3，3）的偶函数，且当x∈[0，3）时，h（x）＝log2（3﹣x），将函数h（x）中x∈[0，3）和x∈（﹣3，0）两部分的表达式相加得到函数y＝f（x）．

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）判断函数y＝f（x）的奇偶性；

（3）讨论函数y＝f（x）在定义域内的单调性，并证明．

【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法．

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；逻辑推理．

【答案】（1）f（x）＝log2（3﹣x）+log2（3+x），x∈（﹣3，3）；

（2）偶函数；

（3）在（﹣3，0）上单调递增，在（0，3）上单调递减，证明见解析．

【分析】（1）利用偶函数的意义求解即得．

（2）利用奇偶性定义判断即得．

（3）判断单调性，再利用单调性定义推理即得．

【解答】解：（1）当x∈（﹣3，0）时，﹣x∈（0，3），则h（x）＝h（﹣x）＝log2（3+x），

所以f（x）＝log2（3﹣x）+log2（3+x），x∈（﹣3，3）．

（2）由（1）知，x∈（﹣3，3），f（﹣x）＝log2（3+x）+log2（3﹣x）＝f（x），

函数f（x）是（﹣3，3）上的偶函数．

（3）f（x）在（﹣3，0）上单调递增，在（0，3）上单调递减，证明如下：

由（1）知，x∈（﹣3，3），f(x)=log

函数f（x）在（﹣3，0）上单调递增，在（0，3）上单调递减，

?x1，x2∈（﹣3，0），x1＜x2，则9＞x1

而函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，因此log

即f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在（﹣3，0）上单调递增，由偶函数的性质得f（x）在（0，3）上单调递减．

【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用及判断，属于中档题．

2．（2024?昔阳县校级模拟）已知幂