第12讲 平行四边形存在性问题 自招自招A（学生版）.docxVIP

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PAGE3/9年级自招自招A班第12讲

第十二讲平行四边形存在性问题

第十二讲

平行四边形

存在性问题

★

平行四边形的性质以及判定．

性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；

③平行四边形的对角线互相平分．

④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．

判定：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形

★

矩形的性质及判定．

性质：①边的性质：对边平行且相等；②角的性质：四个角都是直角．

③对角线性质：对角线互相平分且相等．

④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．

②对角线相等的平行四边形是矩形．

③有三个角是直角的四边形是矩形．

★

菱形的性质及判定．

性质：①对边平行且四边相等．②邻角互补，对角相等．

③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

⑤菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形．

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

③四边相等的四边形是菱形．

⑴点的存在性——平行四边形．

方法与技巧：已知以点、点为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外两个顶点．

①为边：平移，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．

②为对角线：旋转，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形．

⑵点的存在性——特殊平行四边形

方法与技巧：在“平行四边形”的前提下，根据所要求的特殊平行四边形的性质进行求解

性质

判定

矩形

矩形的四个角都是直角．

矩形的两条对角线相等．

三个角是直角的四边形是矩形．

对角线相等的平行四边形是矩形．

菱形

菱形的四条边都相等．

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

四条边都相等的四边形是菱形．

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

①矩形存在性：转化为直角三角形存在性，然后对称补全

②菱形存在性：转化为等腰三角形存在性，然后对称补全

★涉及到的函数知识点：

中点公式：若在平面直角坐标系中，，

则线段的中点的坐标为

两直线平行：在坐标系中，直线：，直线：，若，则且

两直线垂直：在坐标系中，直线：，直线：，若，则【拓】

两点间距离公式：已知点，点，则

几何背景下的平行四边形存在性问题

★★

如图，已知矩形，，，是上一动点，、、分别是、、的中点．

⑴求证：四边形是平行四边形；

⑵当为何值时，四边形是菱形；

⑶当为何值时，四边形是矩形．

★★★

已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，，，三点的坐标分别为，，，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒．

⑴求直线的解析式；

⑵若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？

⑶动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

⑷当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由．

坐标系内的平行四边形存在性问题

★★★

如图，二次函数的图像与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，已知．

⑴求抛物线与直线的函数解析式；

⑵若点是抛物线在第二象限部分上的一动点，四边形的面积为，求关于的函数关系；

⑶点为抛物线上的任意一点，点为轴上任意一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点的坐标．

★★★

已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于点，与轴交于点，顶点在直线上，将抛物线沿射线的方向平移，当顶点恰好落在轴上的点处时，点落在点处．

⑴求这个抛物线的解析式；

⑵求平移过程中线段所扫过的面积；

⑶已知点在轴上，点在坐标平面内，且以点、、、为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．

备用图

★★★

如图，直线与反比例函数的图像交于点、，与轴、轴分别交于、，，．

⑴求反比例函数解析式；

⑵联结，求的正切值；

⑶点在直线上，点在反比例函数图像上，如果以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

★★★★

如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点．

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点在第一象限内，，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否