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3.3

§3.3Mann－Whitney统计量

33..33

检验法

�除了秩方法外，U统计量检验方法也是非

常重要的非参数统计检验方法。1947年，

H.B.Mann和D.R.Whitney提出了该方

法，用于比较两个样本的大小。

�就检验方法而言，Wilcoxon秩和检验和

Mann－WhitneyU统计量检验没有实质上的

差别。因为两种检验统计量是等价的。

3.1

例哪一个企业职工的工资高？（单位：千元）

3.1

33..11

这里有22名职工，其中的12名职工来自企业

1，另外的10名职工来自企业2。他们的工资如下：

企业：

11112131415161718192040

60

企业2：3456789103050。

假设检验：

H：这两个企业职工的工资没有差异

0

H：企业1职工的工资比企业2职工的工资高

1

：将企业和企业职工的工资都分别由小到

Step112

大排列：

企业1111213141516171819204060

企业23456789103050

�为方便叙述，将企业1职工的工资记为

x,…,x，其中m=12；企业2职工的工资记

1m

为y,…,y，其中n=10。

1n

Step2：对于企业1的每一名职工，计算在企

业2中有多少职工的工资比他高。即，对每

一个，计算

r=#{xy,j=1,2,Λ,n}

iij

然后计算

m

W=r=2×10+1=21

XY∑i

i=1

事实上，

W=#{(x,y):xy,i=1,2,...,m;j=1,2,...,n}

XYijij

Step3：显然，在比较小的时候认为企业1

职工的工资比企业2职工的工资高。

�Mann－WhitneyU统计量检验

记两个独立的连续型随机变量总体X和Y

的样本分别为x,…,x和y,…,y。不妨假设

1m1n

合样本的各个值之间互不相等。记合样本容

量为m+n=N。

记WXY为所有的X观测值和Y观测值做比

较之后，Y观测值大于X观测值的个数，即

W=#{(x,y):xy,i=1,2,...,m;j=1,2,...,n}

XYijij

则称WXY为Mann-WhitneyU统计量。

同样，我们记为所有的观测值和观测值做比

WYXXY

较之后，Y观测值小于X观测值的个数，即

W=#{(x,y):xy,i=1,2,...,m;j=1,2,...,n}

YXijij

显然，WXY＋WYX＝mn。我们选用WXY作为检验统

计量。

�为什么称为U统计量？

令⎧1,x−y0,