专题03 函数的周期性、对称性（解析版）.docxVIP

专题03函数的周期性、对称性

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，其中，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以

，

令

则所以

所以，所以，其中，则.

当时

当且仅当即时等号成立；

当时

，

当且仅当即时等号成立；

因为，所以的最小值为.

故选：A.

2．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】B

【解析】，

故函数关于对称，又在上严格递增；

即

当且仅当时取得.

故选：B.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，.若，则（????）

A． B．0 C． D．

【答案】C

【解析】因为为偶函数，所以，

用代替得：，

因为为奇函数，所以，

故①，

用代替得：②，

由①②得：，

所以函数的周期，

所以，即，

因为，令得：，故，

，解得：，

所以时，，

因为，

令，得，

其中，所以，

因为，

令得：，即，

因为，所以，

因为，

令得：，

故，

.

故选：C

4．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（????）

A．16 B．20 C．24 D．28

【答案】C

【解析】因为是偶函数，所以，所以，

所以函数关于直线对称，

又因为，所以，

所以，所以关于点中心对称，

由及得

所以

所以函数的周期为，

因为当时，（且），且，

所以，解得：或，因为且，所以.

所以当时，，

所以，，，

，，，

，所以，

所以,

故选：.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为的图像关于直线对称，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

代入得，即，

所以，

.

因为，所以，即，所以.

因为，所以，又因为，

联立得，，

所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，

所以

因为，所以.

所以.

故选：D

6．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若，则下列不等式正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题，

化简整理得，于是

所以，进而，

据此，在上单调递增，在上单调递减，

因为，即．

对于A，由，又，所以，

即，故A错误；对于B，

，

因为，所以，而，

所以，故B错误；对于C，

，而，

所以，所以，故C正确；

对于D，由，因为，

所以，所以，故D错误.

故选：C．

7．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（????）

A．30 B．14 C．12 D．6

【答案】A

【解析】由知函数的图象关于直线对称，

∵，是R上的奇函数，

∴，

∴，

∴的周期为4，

考虑的一个周期，例如，

由在上是减函数知在上是增函数，

在上是减函数，在上是增函数，

对于奇函数有，，

故当时，，当时，，

当时，，当时，，

方程在上有实数根，

则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，

则由于，故方程在上有唯一实数，

在和上，

则方程在和上没有实数根，

从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，

当，方程的两实数根之和为，

当，方程的所有6个实数根之和为.

故选：A.

8．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则?????

A．2016 B．2017 C．2018 D．2019

【答案】C

【解析】函数，

函数的导数，，

由得，

解得，而，

故函数关于点对称，

，

故设，

则，

两式相加得，则，故选C.

9．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）定义在R上的函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为（????）

A．7 B．14 C．21 D．28

【答案】B

【解析】依题意，是奇函数.又由知，的图像关于对称.

，

所以是周期为4的周期函数.

，

所以关于点对称.

由于

从而函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和.

而函数的图像也关于点对称.

画出，的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数所有零点和为.

故选：B

10．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为为偶函数，为奇函数，

所以，.

所以，，所以.

令，则.

令上式中t取t-4，则，所以.