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材料力学本构模型：粘弹性模型：粘弹性材料的本构关系

1绪论

1.1粘弹性材料的定义

粘弹性材料，是一种在受力作用下，其形变不仅与应力有关，还与时间有

关的材料。这类材料在受力初期表现出弹性行为，即形变与应力成正比，但在

持续受力下，形变会随时间增加，表现出粘性行为。粘弹性材料广泛存在于自

然界和工程应用中，如橡胶、塑料、生物组织等。

1.2粘弹性模型的重要性

粘弹性模型的重要性在于它能够准确描述粘弹性材料在不同载荷条件下的

行为，这对于材料的设计、选择和性能预测至关重要。通过粘弹性模型，工程

师可以预测材料在实际应用中的形变、应力松弛和蠕变等特性，从而优化产品

设计，提高使用寿命和安全性。

1.3本构关系的基本概念

本构关系是描述材料力学行为的数学模型，它建立了应力与应变之间的关

系。对于粘弹性材料，本构关系不仅包括弹性模量，还涉及粘性系数和时间常

数等参数，以反映材料的粘弹性特性。常见的粘弹性本构模型有Maxwell模型、

Kelvin-Voigt模型和Boltzmann叠加原理等。

2粘弹性模型的数学描述

2.1Maxwell模型

Maxwell模型由一个弹簧和一个粘壶串联组成，可以用来描述应力松弛现

象。假设一个Maxwell模型在初始时刻受到一个恒定的应变ε0，其应力σ随时

间t的变化可以由以下微分方程描述：

+=

其中，η是粘性系数，E是弹性模量。对于恒定应变ε0，应力σ(t)随时间

的演化可以表示为：

−

=0

1

2.1.1代码示例

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义参数

E=1e6#弹性模量，单位：Pa

eta=10#粘性系数，单位：Pa·s

epsilon_0=0.01#初始应变

#时间范围

t=np.linspace(0,100,1000)

#应力随时间变化

sigma=E*epsilon_0*np.exp(-t/(eta/E))

#绘制应力-时间曲线

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(t,sigma,label=StressRelaxation)

plt.xlabel(Time(s))

plt.ylabel(Stress(Pa))

plt.title(MaxwellModelStressRelaxation)

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

2.2Kelvin-Voigt模型

Kelvin-Voigt模型由一个弹簧和一个粘壶并联组成，主要用于描述蠕变现象。

当模型受到一个恒定的应力σ0时，其应变ε随时间t的变化可以由以下微分

方程描述：

+=

对于恒定应力σ0，应变ε(t)随时间的演化可以表示为：

−

=1−/

0

2.