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第87讲二项式定理

知识梳理

知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

（1）二项式定理

一般地，对于任意正整数，都有：，

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，

其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，

（2）二项式的展开式的特点：

①项数：共有项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次

数从到，每一项中，，次数和均为；

④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系

数）．

（3）两个常用的二项展开式：

①（）

②

（4）二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：

公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；

②字母的次数和组合数的上标相同；

③与的次数之和为．

注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．

②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．

2、二项式展开式中的最值问题

（1）二项式系数的性质

=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．

=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．

=3\*GB3③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．

=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，

则，

从而得到：．

=5\*GB3⑤最大值：

如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．

（2）系数的最大项

求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．

知识点3、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

（1）设，

二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．

①令，可得：

②令，可得：，即：

（假设为偶数），再结合①可得：

．

（2）若，则

①常数项：令，得．

②各项系数和：令，得．

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；

偶数项的系数和为．

（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；

偶数项的系数和为．

（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

若，同理可得．

注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．

必考题型全归纳

题型一：求二项展开式中的参数

例1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（????）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【解析】的展开式中的常数项为，

展开式中的常数项,

所以,即,

故选：D.

例2．（2024·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（????）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】C

【解析】二项式的展开式的通项为，

令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.

故选：C

例3．（2024·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（????）

A．－1 B．1 C．±1 D．2

【答案】B

【解析】的展开式通项为，

∴令，解得，

∴的展开式的常数项为，

∴

∴

故选：B.

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中的常数项为，则实数（????）

A．2 B．-2 C．8 D．-8

【答案】B

【解析】展开式的通项为：，

取得到常数项为，解得.

故选：B

变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（????）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【解析】的展开式的通项，

当时，

则，解得．

故选：A

【解题方法总结】

在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．

题型二：求二项展开式中的常数项

例4．（2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（????）

A．36 B．30 C．15 D．10

【答案】C

【解析】令，则可得所有项的系数和为且，解得，

∵的展开式中的通项，

∴当时，展开式中的常数项为.

故选：C

例5．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练