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第89讲古典概型与概率的基本性质

知识梳理

知识点1、随机事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示．

知识点2、古典概型

（1）定义

一般地，若试验具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

（2）古典概型的概率公式

一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率．

知识点3、概率的基本性质

（1）对于任意事件都有：．

（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．

（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．

推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．

（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．

（5）概率的单调性：若，则．

（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．

【解题方法总结】

1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．

因此要注意清楚以下三个方面：

（1）本试验是否具有等可能性；

（2）本试验的基本事件有多少个；

（3）事件是什么．

2、解题实现步骤：

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；

（3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；

（4）利用公式求出事件的概率．

3、解题方法技巧：

（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型．

①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．

②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．

必考题型全归纳

题型一：简单的古典概型问题

例1．（2024·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（????）

①从区间内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；

①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；

④由于硬币质地不均匀，因此样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.

故选：A.

例2．（2024·全国·高一专题练习）下列关于古典概型的说法正确的是（????）

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；

③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则.

A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④

【答案】D

【解析】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；

在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；

在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；

在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确．

故选：D．

例3．（2024·全国·高三专题练习）下列有关古典概型的四种说法：

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；

②每个事件出现的可能性相等；

③每个样本点出现的可能性相等；

④已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率.

其中所正确说法的序号是（?????）

A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④

【答案】D

【解析】根据古典概型的基本概念及概率公式，即可得出结论②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；

根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.

故选:D.

变式1．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】指定的两只小鼠分配到相同组的概率为，

所以指定的两只小鼠分配到不同组的概率为.

故选：D

变式2．（2024·青海西宁·高三统考开学考试）乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1