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第57讲直线的方程

知识梳理

知识点一：直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示

（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为

（2）倾斜角的取值范围

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为

（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）

（4）越大，直线越陡峭

（5）倾斜角与斜率的关系

当时，直线平行于轴或与轴重合；

当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；

当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，，则

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．

（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

4、三点共线．

两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．

知识点二：直线的方程

1、直线的截距

若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

2、直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

不含垂直于轴的直线

斜截式

不含垂直于轴的直线

两点式

不含直线和直线

截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

平面直角坐标系内的直线都适用

3、求曲线（或直线）方程的方法：

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

4、线段中点坐标公式

若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．

5、两直线的夹角公式

若直线与直线的夹角为，则.

必考题型全归纳

题型一：倾斜角与斜率的计算

例1．（2024·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是直线的倾斜角，则的值为（????）

A． B． C． D．

例2．（2024·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

例3．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是（????）

A． B． C． D．

变式1．（2024·全国·高二专题练习）如图，若直线的斜率分别为，则（????）

????

A． B．

C． D．

变式2．（2024·全国·高二专题练习）直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

变式3．（2024·全国·高二课堂例题）过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（????）

A．1 B．5 C． D．

变式4．（2024·高二课时练习）直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（????）．

A． B． C． D．

变式5．（2024·全国·高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【解题方法总结】

正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．

题型二：三点共线问题

例4．（2024·全国·高二专题练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（????）

A．2 B．4 C．8 D．12

例5．（2024·辽宁营口·高二校考阶段练习）若三点，，共线，则实数的值是（????）

A．6 B． C． D．2

例6．（2024·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为（）

A．1 B． C． D．

变式6．（2024·全国·高三专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（????）

A．1±或0 B．或0

C． D．或0

【解题方法总结】

斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共