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一、解答题
1.问题情境:
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x1,y1)和点B(x2,y2),小明在学习中发现,若x1=x2,则AB∥y轴,且线段AB的长度为|y1﹣y2|;若y1=y2,则AB∥x轴,且线段AB的长度为|x1﹣x2|;
(应用):
(1)若点A(﹣1,1)、B(2,1),则AB∥x轴,AB的长度为.
(2)若点C(1,0),且CD∥y轴,且CD=2,则点D的坐标为.
(拓展):
我们规定:平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|;例如:图1中,点M(﹣1,1)与点N(1,﹣2)之间的折线距离为d(M,N)=|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|=2+3=5.
解决下列问题:
(1)如图1,已知E(2,0),若F(﹣1,﹣2),则d(E,F);
(2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,则t=.
(3)如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上,且三角形OPQ的面积为3,则d(P,Q)=.
2.已知,.点在上,点在上.
(1)如图1中,、、的数量关系为:;(不需要证明);如图2中,、、的数量关系为:;(不需要证明)
(2)如图3中,平分,平分,且,求的度数;
(3)如图4中,,平分,平分,且,则的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出么的度数.
3.如图1,MN∥PQ,点C、B分别在直线MN、PQ上,点A在直线MN、PQ之间.
(1)求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA;
(2)如图2,CD∥AB,点E在PQ上,∠ECN=∠CAB,求证:∠MCA=∠DCE;
(3)如图3,BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF∥CG.若∠CAB=60°,求∠AFB的度数.
4.如图1,已知直线m∥n,AB是一个平面镜,光线从直线m上的点O射出,在平面镜AB上经点P反射后,到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光线,PQ为反射光线,镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OPA=∠QPB.
(1)如图1,若∠OPQ=82°,求∠OPA的度数;
(2)如图2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OPA的度数;
(3)如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系,并说明理由.
5.已知:ABCD.点E在CD上,点F,H在AB上,点G在AB,CD之间,连接FG,EH,GE,∠GFB=∠CEH.
(1)如图1,求证:GFEH;
(2)如图2,若∠GEH=α,FM平分∠AFG,EM平分∠GEC,试问∠M与α之间有怎样的数量关系(用含α的式子表示∠M)?请写出你的猜想,并加以证明.
6.已知,AB∥DE,点C在AB上方,连接BC、CD.
(1)如图1,求证:∠BCD+∠CDE=∠ABC;
(2)如图2,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,探究∠ABC和∠F之间的数量关系;
(3)如图3,在(2)的条件下,∠CFD的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分∠ABC,求∠BGD﹣∠CGF的值.
7.据说,我国著名数学家华罗庚在一次访问途中,看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:一个数32768,它是一个正数的立方,希望求它的立方根,华罗庚不假思索给出了答案,邻座乘客非常惊奇,很想得知其中的奥秘,你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗?请按照下面的问题试一试:
(1)由,因为,请确定是______位数;
(2)由32768的个位上的数是8,请确定的个位上的数是________,划去32768后面的三位数768得到32,因为,请确定的十位上的数是_____________;
(3)已知和分别是两个数的立方,仿照上面的计算过程,请计算:;.
8.观察下列各式:;;;……根据上面的等式所反映的规律,
(1)填空:______;______;
(2)计算:
9.a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数.如:2的差倒数是,现已知a1=,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)根据(1)的计算结果,请猜想并写出a2016?a2017?a2018的值;
(3)计算:a33+a66+a99+…+a9999的值.
10.下列等式:,,,将以上三个等式两边分别相加得:
.
(1)观察发现:__________.
(2)初步应用:利用(1)的结论
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本人在医药行业摸爬滚打10年,做过实验室QC,仪器公司售后技术支持工程师,擅长解答实验室仪器问题,现为一家制药企业仪器管理。
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