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第02讲平面向量的数量积(核心考点精讲精练)
1.4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷,第13题,5分
数量积的运算律
向量的模长运算
2022年新Ⅱ卷,第4题,5分
数量积及向量夹角的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
2021年新I卷,第10题,5分
数量积的坐标表示
坐标计算向量的模
逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021年新Ⅱ卷,第15题,5分
数量积的运算律
无
2020年新I卷,第7题,5分
用定义求向量的数量积
无
2.命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容,设题稳定,难度较低,分值为5分
【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3能用坐标表示平面向量的数量积,并会表示及计算两个平面向量的夹角
4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用
5会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用,易理解,易得分,需重点复习。
知识讲解
1.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,
则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b
投影
|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
3.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=eq\r(a·a)
|a|=eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))
夹角
cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)
cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|≤eq\r(?x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1)??x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2)?)
数量积运算律要准确理解、应用,
例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边不能约去一个向量.
2.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.
3.在用|a|=eq\r(a2)求向量的模时,一定要先求出a2再进行开方.
考点一、求平面向量的数量积
1.(重庆·高考真题)设向量,则等于(????)
A. B. C. D.
2.(2023·全国·统考高考真题)正方形的边长是2,是的中点,则(????)
A. B.3 C. D.5
3.(2022·全国·统考高考真题)设向量,的夹角的余弦值为,且,,则.
4.(浙江·高考真题)已知平面上三点、、满足,,,则的值等于.
5.(2020·北京·统考高考真题)已知正方形的边长为2,点P满足,则;.
1.(上海·模拟预测)已知,,求;
2.(上海·高考真题)若的夹角为,则.
3.(2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测)已知向量,,若,则.
4.(2021·全国·统考高考真题)(多选)已知为坐标原点,点,,,,则(????)
A. B.
C. D.
考点二、辨析数量积的运算律
1.(上海·高考真题)若,,均为任意向量,,则下列等式不一定成立的是(????)
A. B.
C. D.
2.(2021·浙江·统考高考真题)已知非零向量,则“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
3.(湖北·高考真题)已知为非零的平面向量.甲:乙:,则(????)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
1.(2023·全国·模拟预测)有关平面向量的说法,下列错误的是(????)
A.若,,则 B.若与共线且模长相等,则
C.若且与方向相同,则 D.恒成立
2.(2022·江苏南通·海安高级中学校考二模)关于平面向量,下列说
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