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第36讲平面向量的数量积及运算

知识梳理

知识点一．平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．

②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．

③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．

知识点二．数量积的运算律

已知向量、、和实数，则：

①；

②；

③．

知识点三．数量积的性质

设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则

①．②．

③当与同向时，；当与反向时，．

特别地，或．

④．⑤．

知识点四．数量积的坐标运算

已知非零向量，，为向量、的夹角．

结论

几何表示

坐标表示

模

数量积

夹角

的充要

条件

的充要

条件

与

的关系

（当且仅当时等号成立）

知识点五、向量中的易错点

（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．

（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．

当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．

（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且

【解题方法总结】

（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．

（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．

（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．

（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．

必考题型全归纳

题型一：平面向量的数量积运算

例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（????）

A．6 B．8 C．10 D．14

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（????）

A．12 B．8 C．-8 D．2

例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（??）

A． B．1 C． D．2

变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（???）

A．1 B．12 C．或2 D．或1

变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（????）

A． B．

C． D．

变式3．（2024·全国·高三专题练习）正方形的边长是2，是的中点，则（????）

A． B．3 C． D．5

变式4．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（????）.

??

A． B． C． D．

变式5．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（????）

A．3 B．15 C．或15 D．3或15

变式6．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（????）

A． B． C． D．

【解题方法总结】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．

（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．

（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）

同：；；公式都可通用

异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）

，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．

，通常是求最值的时候用．

题型二：平面向量的夹角

例4．（2024·河南驻马店·统考二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．

例5．（2024·四川·校联考模拟预测）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大