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第64讲椭圆及其性质

知识梳理

知识点一：椭圆的定义

平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：

注意：当时，点的轨迹是线段；

当时，点的轨迹不存在．

知识点二：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示．

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

统一方程

参数方程

第一定义

到两定点的距离之和等于常数2，即（）

范围

且

且

顶点

、

、

、

、

轴长

长轴长，短轴长

长轴长，短轴长

对称性

关于轴、轴对称，关于原点中心对称

焦点

、

、

焦距

离心率

准线方程

点和椭圆

的关系

切线方程

（为切点）

（为切点）

对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得

切点弦所在的直线方程

焦点三角形面积

①，（为短轴的端点）

②

③

焦点三角形中一般要用到的关系是

焦半径

左焦半径：

又焦半径：

上焦半径：

下焦半径：

焦半径最大值，最小值

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）

弦长公式

设直线与椭圆的两个交点为，，，

则弦长

（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）

【解题方法总结】

（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．

距离的最大值为，距离的最小值为．

（2）椭圆的切线

①椭圆上一点处的切线方程是；

②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；

③椭圆与直线相切的条件是．

必考题型全归纳

题型一：椭圆的定义与标准方程

例1．（2024·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为.

【答案】

【解析】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为，，

故，，所以椭圆C的标准方程为.

故答案为：.

例2．（2024·山东青岛·统考三模）已知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方程为．

【答案】

【解析】抛物线方程化为标准方程得，焦点坐标为，

∵抛物线焦点与椭圆的一个焦点重合，∴椭圆焦点在轴，

设椭圆方程为，（），

则由焦点坐标和长轴长知，，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为.

故答案为：.

例3．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为．

【答案】

【解析】由题知：，①

又椭圆经过点，

所以，②

又，③

联立解得：，

故椭圆的标准方程为：.

故答案为：.

变式1．（2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E：（），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为，的面积为，则E的标准方程为.

【答案】

【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：

由题意知：，直线AB的斜率为，即，

所以，.

由椭圆的性质知：，，则，所以，，

则，故直线AB的方程为.

联立，解得：或，

所以，故，

则，解得：.

又，所以，即，则E的标准方程为.

故答案为：.

变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为.

【答案】

【解析】椭圆的离心率为，

设所求椭圆方程为，

则，从而，，

又，∴，

∴所求椭圆的标准方程为.

故答案为：.

变式3．（2024·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为.

【答案】

【解析】即，焦点为，

椭圆长轴，即，故短半轴，故椭圆方程为.

故答案为：.

变式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为.

【答案】

【解析】连接，因为，

所以四边形是平行四边形，

所以，，

又，所以四边形为矩形，

设

则由题意得，解得，

则，则标准方程为，

故答案为：.

变式5．（2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是．

【答案】

【解析】由题意设椭圆的方程为，，

将点代入，，

整理可得：，

解得或（舍，

所以椭圆的方程为：，

故答案为：．

变式6．（2024·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为.

【答案】

【解析】∵椭圆E的离心率为，

且设椭圆F