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素养拓展02不等式中的恒成立问题(精讲+精练)
一、知识点梳理
一、知识点梳理
1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论!
设函数的值域为或,或或中之一种,则
①若恒成立(即无解),则;
②若恒成立(即无解),则;
③若有解(即存在使得成立),则;
④若有解(即存在使得成立),则;
⑤若有解(即无解),则;
⑥若无解(即有解),则.
【说明】
(1)一般来说,优先考虑分离参数法,其次考虑含参转化法.
(2)取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关,另外要注意①②③④中前后等号的取舍!(即端点值的取舍)
2.分离参数的方法
①常规法分离参数:如;
②倒数法分离参数:如;
【当的值有可能取到,而的值一定不为0时,可用倒数法分离参数.】
③讨论法分离参数:如:
④整体法分离参数:如;
⑤不完全分离参数法:如;
⑥作商法凸显参数,换元法凸显参数.
【注意】
(1)分离参数后,问题容易解决,就用分离参数法(大多数题可以使用此方法).但如果难以分离参数或分离参数后,问题反而变得更复杂,则不分离参数,此时就用含参转化法.
(2)恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的,应该考虑先去掉这一部分或端点,再分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题.】
3.其他恒成立类型一
①在上是增函数,则恒成立.(等号不能漏掉).
②在上是减函数,则恒成立.(等号不能漏掉).
③在上是单调函数,方法一:分上述两种情形讨论;(常用方法)
4.其他恒成立类型二
①,使得方程成立.
②,使得方程成.
5.其他恒成立类型三
①,;
②,;
③,;
④,.
【方法】处理时,把当常数;处理时,把当常数.
思考:对的四种取值情形;或;或等又如何处理呢?【同理!】
二、题型精讲精练
二、题型精讲精练
【典例1】正数满足,若不等式恒成立,则实数的取值范围__________.
【分析】由不等式恒成立可得,利用基本不等式求的最小值,由此可求的取值范围.
【详解】因为不等式恒成立,所以,
由,,
可得,
当且仅当时等号成立,
所以,解得.所以的取值范围为.
故答案为:.
【典例2】已知不等式的解集为,且对于,不等式恒成立,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由不等式的解集为知可用表示,代入中并用参数分离与基本不等式求得的取值范围.
【详解】由不等式的解集为,可知为方程的两个根,
故且,即,
则不等式变为,
由于,则上式可转化为在恒成立,
又,当且仅当时等号成立,
故.故选:B.
【题型训练】
1.基本不等式恒成立问题
一、单选题
1.(2023·全国·高三专题练习)当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
2.(2023·上海·高三专题练习)已知P是曲线上的一动点,曲线C在P点处的切线的倾斜角为,若,则实数a的取值范围是(????)
A. B. C. D.
3.(2023·全国·高三专题练习)已知且,若恒成立,则实数m的取值范围是(????)
A. B.} C. D.
4.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知实数满足,且,若不等式恒成立,则实数的最大值为(????)
A.9 B.12 C.16 D.25
5.(2023·全国·高三专题练习)当不等式恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
6.(2023秋·河南郑州·高三校联考期末)已知正数满足,若恒成立,则实数的取值范围为(????)
A. B. C. D.
7.(2023秋·广东潮州·高三统考期末)正实数满足,且不等式恒成立,则实数的取值范围(????)
A. B.
C. D.
8.(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知正数,满足,若不等式恒成立,则的最大值为(????)
A. B. C. D.
9.(2023秋·河南郑州·高三校联考期末)已知正数a,b满足,若恒成立,则实数的取值范围为(????)
A. B. C. D.
10.(2023·全国·高三专题练习)设正实数满足,不等式恒成立,则的最大值为(??)
A. B. C. D.
二、多选题
11.(2023·全国·高三专题练习)若不等式对恒成立,则实数的值可以为(???)
A.1 B.2 C.4 D.5
12.(2023·全国·高三专题练习)当,,时,恒成立,则的取值可能是(????)
A. B. C.1 D.2
三、填空题
13.(2023·全国·高三专题练习),,且恒成立,则的最大值为__.
14.(2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测)已知,若不等式恒成立,则的最大值为________.
15.(2023·全国·高三专题练习)已知不等式对任给,恒成立,则实数a的取值范
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