山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试 数学试题[含答案].docx

聊城二中高二开学考试数学试题

（时间：120分钟满分：150分）

一?单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）

1．若复数满足，则的虚部为（????）

A． B．

C． D．

2．向量，，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

3．若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（????）

A．65 B．70 C．75 D．80

6．自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（????）

A． B． C． D．

7．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（????）

A． B．

C． D．

8．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（????）

A． B．

C． D．

二?多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

9．下列结论正确的有（????）

A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件

B．在标准大气压下，水在4℃时结冰为随机事件

C．若一组数据1，，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为

D．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查．若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取80名学生

10．下列命题正确的是（????）

A．若，则与，共面

B．若，则共面

C．若，则共面

D．若，则共面

11．在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（????）

A．若，则为锐角三角形

B．若，则

C．若，三角形面积，则

D．若，则为等腰三角形

三?填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．已知向量与的夹角为，且，则实数的值为.

13．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原△ABC的面积为．

14．某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是.

四?解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤）

15．已知复数（，是虚数单位）．

（1）若是纯虚数，求实数的值；

（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．

16．已知，.

(1)求与的夹角；

(2)求；

(3)若，，求的面积.

17．如图，三棱台中，分别为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若求证：平面平面.

18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，D为边上的一点，，且______，求的面积．

请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．

①是的平分线；②D为线段的中点．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）

19．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；

（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；

（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，

方案一：每满80元可立减8元；

方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.

若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.

1．B

【分析】根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据