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PAGE2/自招A7年级

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三角形的边第三讲

三角形的边

第三讲

【重点】：①熟练掌握三角形三边的关系式，且能利用该不等式求另一边的范围；

②已知周长、另一边取值范围情况下利用三边关系求三角形存在性问题；

③利用三边关系证明线段之间的不等关系；

④能够运用凸多边形的内角和、外角和计算．

【难点】：①已知周长、另一边取值范围下利用三边关系求三角形存在性问题；

②利用三边关系证明线段之间的不等关系．

★★

图中每个三角形都是等边三角形，中间的小等边三角形边长为，则六边形的周长为________．

三角形的三边关系

定义

示例剖析

三角形中三条重要的线段：

⑴高（altitude）：（所以全等判定法则中的H并不是high的缩写）

在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．

⑵中线（median）：

在三角形中，联结一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线．

⑶角平分线（bisectorofangle）：

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

三角形的分类：

按边分类

按边分类

不等边三角形：三条边都不相等的三角形

等腰三角形

底边和腰不相等的等腰三角形：有两边相等的三角形

等边三角形（正三角形）：

三边都相等的三角形

三角形三条边的关系

三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．

三角形三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边．

即、、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段．

三角形具有稳定性．

，,

，，

，

【注】根据三角形三边关系的相关考点

考点一、已知两边求第三边的取值范围或边长

考点二、判断三条线段能否构成三角形

考点三、确定三角形的个数问题

考点四、化简代数式问题

考点五、三角形边的不等关系

★★

⑴一个三角形三边长分别为，，，则的取值范围是________．周长的范围是________．

⑵一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________．

⑶已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为，若此三角形周长为偶数，则第三边的最小值为________．

★★★

已知三角形周长为，则最长边的取值范围________．并利用结论解答：

⑴已知三角形的周长为，则最长边的取值范围是________．

⑵已知三角形中，最长边为，则三角形周长的取值范围是________．

⑶已知凸六边形的周长为，则最长边的取值范围是________．

★★★

⑴、、为三角形的三边长，化简，

若此三角形周长为，求上面式子的值．

⑵判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例．已知的三边分别为，，．

①以、、为三边的三角形一定存在．

②以，，为三边的三角形一定存在．

③以，，为三边的三角形一定存在．

★★

一个三角形的三边长分别是，，(，，都是质数)，且，则这个三角形是（）

．直角三角形．等腰三角形

．等边三角形．直角三角形或等腰三角形

★★★

⑴三角形边长都是正整数，其中最长边为，则这样的三角形共有________个．

⑵现有长的铁丝，要截成小段（），每段的长度为不小于的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为________．

★★★

已知三角形的边长互不相等且都是质数，周长是不大于的合数，则这个三角形的三边长分别是________．

★★★

如图，四边形中，，，，，则的取值范围________．

利用三角形三边关系

★★★★

⑴已知：如图，为内任意一点．求证：．

⑵已知：如图，为内任意一点．求证：．

⑶已知：如图，为内任意一点．求证：．

图图图

★★

如图，小虎从学校逃课到车站去，共有三条路线．但在早晨时，路线⑴挤满学生，出租车无法通行．为此，需在路线⑵和路线⑶中选一条，请你帮助小虎分析，出租车选哪一条路线比较近？为什么？

【编者注】例和例两题非常经典，很多学校都会做过多遍，但从历年经验知学生对此类题型掌握并不牢

固，建议老师和学生都认真对待．

★★★

如图，已知四边形，对角线与相交于点．

求证：．

⑴已知三角形三边长分别为，，，则的取值范围是（）

． ． ． ．

⑵下列不能构成三角形三边长的数组是（）．

．、、 ．、、

．、、 ．、、

⑶已知有两边长为、，其