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PAGE2/自招A7年级教师版
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全等三角形的性质与判定(二)第五
全等三角形
的性质与判定(二)
第五讲
【重点】:①熟练掌握三角形全等的四种判定公理(或定理)
【难点】:①三角形全等的四种判定公理(或定理)
②熟练、准确、规范、耐心的书写各步证明过程!!极其重要!
【南宁中考题】★★
如图,已知,,与相交于点,联结、.
⑴图中还有几对全等三角形,请你一一列举.
⑵求证:.
⑴,
⑵联结,由,
得,,故可证得,
所以有,,即.
多次全等的证明
全等三角形的判定法则:
两个三角形中对应相等
的边或角
是否全等
全等:√;不全等×
公理或推论
(简写)
三条边
√
SSS
两边一角
两边夹角
√
SAS
两边与其中一边对角
×
存在特殊情况
两角一边
两角和夹边
√
ASA
两角与其中一角对边
√
AAS
三角
×
在全等三角形的学习中,经常需要进行多次全等证明.当我们要判定的一组三角形,它的全等条件不足时,通常可以先证明图中另外一组三角形全等,借此得到一些边与角的等量关系.
★★
如图,,,图中有几组全等的三角形?它们全等的条件是什么?
有三组;
在和中
∴,(全等三角形对应角相等)
在和中∴
在和中∴
★★★
已知:如图,、、交于点,且,,,求证:.
易证得()
∴,(全等三角形对应边相等,对应角相等)
又由
(全等三角形对应边相等,对应角相等)
(等式性质)
在与中∴()
★★★★
已知:如图,,点、分别在、上,且,、交于.
求证:平分.
法一:
易证得∴(全等三角形对应角相等)
(等式性质),即
在与中∴
∴(全等三角形对应边相等)故可证得
∴(全等三角形对应角相等)∴平分(角平分线定义).
法二:
联结,易证得,,又,
,即(等角对等边),故可证得
基本角度模型
在全等证明中,我们经常需要寻找两个三角形之间的角度关系.此时,往往需要结合题目中的垂直等条件,进行角度的一系列推导.应用“同角(等角)的余角相等”,我们可以得到一些有用的角度结论.
以下,我们总结几个基本角度结论:
垂直模型
图形
理由
基本结论
一点双垂直
所以
一点双垂直
沙漏模型
而
所以
双高模型
所以
射影模型
所以
【编者注】:学生版此处“理由”与“结论”栏均为空白,需各位老师带领学生进行总结.
★
已知:如图,点是正方形的边上任意一点,过点作,交的延长线于点.
求证:.
∵∴(同角的余角相等)
易证,∴(全等三角形对应边相等)
★★
已知:如图,,,,,,.求证:.
易证,故且,由,得,又,得,,则
★★★
如图,中,,,是中点,,与交于,与交于.求证:,.
联结.
易证,故有,,
所以有,
又由,,故有
可证得,,又,
★★★
⑴如图,、分别是的边和上的高,点在的延长线上,,点在上,.求证:且.
⑵如图,、分别是的边和上的高,点在的延长线上,;点在的延长线上,且.求证:且.
图图
⑴、分别是的边和上的高,
在中,;在中,,
而,,
即(同角的余角相等)
在与中,≌
(全等三角形对应边相等)(全等三角形对应角相等)
又(直角三角形两锐角互余)
(等量代换)即.
⑵证明方法完全同⑴.
【编者注】:细心的学生会发现,这两题实质上是一样的,区别是一个是点在高上,一个是在高的延长线上.试学生的做题情况,老师可自己分析一题,让学生来证明另一问.
★★★★
已知:如图,在中,,平分交于,于交于,交于点,联结.求证:.
易证得(同角的余角相等)
又,(两直线平行,同位角相等)
在和中
(全等三角形的对应边相等)故可证得
(全等三角形的对应角相等)即
★★★★★
已知:如图,中,,于,平分,且于,与相交于点.是边的中点,联结与相交于点.
⑴求证:;⑵求证:;⑶与大小关系如何?试证明你的结论.
⑴∵中,;中,;
∵,
故可证得,
⑵易证得,故
⑶联结,易证得,故有,
而在中,,故.
如图,,,写出图形中所有的全等三角形并加以证明.
易证:,,则有,
所以有.
⑴如图,已知、、、四点在一条直线上,,,,.
求证:
⑵如图,,,,求证:.
图
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