第7讲 实数与平方根、立方根（学生版）.docxVIP

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PAGE2/自招A7年级

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第七讲

第七讲

实数与平方根、立方根

实数与

平方根、立方根

【重点】：①熟练掌握有理数和无理数的分类；并会简单的无理数证明；

②准确计算平方根、立方根；

③理解有理数的封闭性、的非负性

【难点】：①有理数和无理数的分类；

②理解有理数的封闭性，善于利用有理数的封闭性和的非负性解题．

★

将下列各数填入适当的括号内：

⑴整数：{}；⑵非负数：{}；

⑶有理数：{}；⑷无理数：{}；

⑸正实数：{}；⑹负实数：{}．

⑴整数：{}；

⑵非负数：{}；

⑶有理数：{}；

⑷无理数：{}；

⑸正实数：{}；

⑹负实数：{}．

实数的概念

一、有理数和无理数统称为实数．

二、平方根：

如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根（squareroot）．求一个数的平方根的运算，叫做开平方（extractionofsquareroot），叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算.

在实数范围内，正数有两个平方根，它们可以用“”表示，互为相反数；

表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；

表示的负平方根，读作“负根号”．

零的平方根是零，记作，；

负数没有平方根．

三、立方根：

如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根（cuberoot），用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“”叫做根指数，不能省略.

求一个数的立方根的运算叫做开立方（extractionofcubicroot）.开立方与立方互为逆运算．

在实数范围内，任何一个数都有且只有一个立方根．

即：正数的立方根为正数；

负数的立方根为负数；

的立方根为．

四、次方根：

如果一个数的次方（是大于的整数）等于，那么这个数叫做的次方根（n-throot）.

求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.

★★

⑴平方根等于它本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________，立方根等于它本身的数是________；平方根与立方根相等的数是________．

⑵①的平方根是________；②的平方根是________；③的平方根是________；④的平方根是________；⑤的相反数是________；⑥的立方根是________．

⑶已知是整数，则最小正整数的值为________．

★★

⑴求下列各式中的值：

②②

⑵计算：

★★

⑴是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．

⑵已知某正数的两个平方根是与，求这个正数．

实数的重要性质

一、实数的重要性质：

⑴有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，都可以写成两个整数与（）的比值的形式；

无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里是互质的整数，且．

⑵有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；

无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．

二、算术平方根的性质：

①；

②算术平方根，具有非负性；

★★

⑴一个数的平方根是和，那么这个数是________；

⑵已知，，满足，求的值；

⑶如果，那么＝_______．

★★★★

⑴已知，求的值．

⑵已知，求的值．

★★★

⑴已知，，，是有理数，，试证明：，．

⑵已知，是有理数，且，求，的值．

★★★★

⑴证明：是无理数．

⑵证明：是无理数．

★★★★

⑴已知为任意整数，判断是有理数还是无理数？

⑵若，，为两两不等的有理数，求证：为有理数．

★★★★★

已知为正整数，求证：必为无理数．

已知下列各数：，，，，，，，，，，

把它们分别填在相应的大括号里．

⑴整数集合；⑵无理数集合；

⑶负有理数集合；⑷非负有理数集合．

的平方根是________；的平方根是________；的立方根是________；

的立方根是________；的十次方根是________．

判断：

⑴有理数与无理数的和必为无理数（）

⑵无理数与无理数的和必为无理数（）

⑶无理数与无理数的积必为无理数（）

⑷有理数与无理数的积必为无理数（）

⑴若一正数的平方根是与，求这个正数．

⑵已知和是正数的平方根，试求的值．

证明：是无理数．

⑴若与互为相反数，则________，___